Question

18．如圖所示，足夠長的平行金屬導軌MN、PQ平行放置，間距為L，與水平面成θ角，導軌與固定電阻R₁和R₂相連，且R₁=R₂=R．R₁支路串聯(lián)開關(guān)S，原來S閉合，勻強磁場垂直導軌平面斜向上．有一質(zhì)量為m的導體棒ab與導軌垂直放置，接觸面粗糙且始終接觸良好，導體棒的有效電阻也為R．現(xiàn)讓導體棒從靜止釋放沿導軌下滑，當導體棒運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時速率為v，此時整個電路消耗的電功率為重力功率的$\frac{3}{4}$．已知當?shù)氐闹亓�加速度為g，導軌電阻不計．試求：
（1）在上述穩(wěn)定狀態(tài)時，導體棒ab中的電流I和磁感應強度B的大小；
（2）如果導體棒從靜止釋放沿導軌下滑x距離后運動達到穩(wěn)定狀態(tài)，在這一過程中回路產(chǎn)生的電熱是多少？
（3）斷開開關(guān)S后，導體棒沿導軌下滑一段距離后，通過導體棒ab的電量為q，求這段距離是多少？

Answer 1

分析 （1）當導體棒勻速運動時達到穩(wěn)定狀態(tài)，此時速率為V，重力功率為mgVsinθ．由E=BLV、I=$\frac{E}{{R}_{總}}$、P_電=I²R_總，得到回路的總電功率P_電，根據(jù)電功率為重力功率的$\frac{3}{4}$，列式求磁感應強度B．并求出通過ab棒的電流I；
（2）根據(jù)重力功率等于電功率與克服摩擦力做功功率之和，列式求出摩擦力大小，由能量守恒求回路中產(chǎn)生的電熱；
（3）S斷開后，由法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式q=It，得到電量q與距離的關(guān)系，即可求出距離．

解答 解：（1）當導體棒以速度v勻速下滑時電路中的總電阻為：R_總=$\frac{3}{2}$R
感應電動勢為：E=BLv）
導體棒中的電流為：I=$\frac{E}{{R}_{總}}$
總電功率為：P_電=I²R_總
重力的功率為：P_重=mgv sinθ
根據(jù)題意有：P_電=$\frac{3}{4}$P_重
解得：B=$\frac{3}{2L}$$\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$，I=$\sqrt{\frac{mgvsinθ}{2R}}$
（2）設導體棒與導軌間的滑動摩擦力大小為f，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律可知：
 則有 $\frac{1}{4}$mgvsinθ=fv
所以：f=$\frac{1}{4}$mgsinθ
根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律可知：mg xsinθ=fx+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+Q
解得：Q=$\frac{3}{4}$mgsinθ•x-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
（3）S斷開后，回路的總電阻為：R_總′=2R
設這一過程的時間為△t，回路中感應電動勢的平均值為 $\overline{E}$，導體棒中感應電流的平均值為$\overline{I}$，導體棒沿導軌下滑的距離為S，根據(jù)題意有：
 q=$\overline{I}$△t
根據(jù)法拉第電磁感應定律有：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
又△Φ=BLS，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R{′}_{總}}$
聯(lián)立解得：S=$\frac{4q}{3}$$\sqrt{\frac{2vR}{mgsinθ}}$
答：
（1）在上述穩(wěn)定狀態(tài)時，導體棒ab中的電流I為$\sqrt{\frac{mgvsinθ}{2R}}$，磁感應強度B的大小為$\frac{3}{2L}$$\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$；
（2）如果導體棒從靜止釋放沿導軌下滑x距離后運動達到穩(wěn)定狀態(tài)，在這一過程中回路產(chǎn)生的電熱是$\frac{3}{4}$mgsinθ•x-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．
（3）斷開開關(guān)S后，導體棒沿導軌下滑一段距離后，通過導體棒ab的電量為q，這段距離是$\frac{4q}{3}$$\sqrt{\frac{2vR}{mgsinθ}}$．

點評 解答本題關(guān)鍵是通過分析功率關(guān)系，求出磁感應強度和摩擦力，是電磁感應與電路結(jié)合的題目，明確電路的結(jié)構(gòu)解決問題．同時，對于感應電量，要很熟練地根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式q=It進行推導．