Question

19．如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量為m₁=20kg的小車A和質(zhì)量為m₂=25kg的平板拖車B，用松弛的不能伸長(zhǎng)的輕繩連接，質(zhì)量為m₃=15kg的小物體C置于拖車上．設(shè)拖車長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，物體和拖車間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2．對(duì)小車A作用一個(gè)水平向右的沖量，使小車A獲得v₀=3m/s的速度．問(wèn)：
①當(dāng)A、B、C以相同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，該速度是多大？
②C在B上移動(dòng)的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）將小車、拖車和物體三個(gè)物體看成一系統(tǒng)，在水平方向上動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出三者一起運(yùn)動(dòng)的速度大�。�
（2）輕繩從伸直到拉緊的時(shí)間極短，在此過(guò)程中，小車與拖車在水平方向上動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒求出小車和拖車的共同速度，然后物體在拖車上發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出拖車和小車整體與物體的位移，從而求出它們的相對(duì)位移．

解答 解：（1）由小車、拖車和物體三者水平方向動(dòng)量守恒：m₁v₀=（m₁+m₂+m₃）u，
得三者一起運(yùn)動(dòng)的速度大小為$u=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{v}_{0}=\frac{20}{20+25+15}×3$=1m/s．
（2）小車向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，輕繩將逐漸伸直．因?yàn)檩p繩從伸直到拉緊的時(shí)間極短，在這極短時(shí)間內(nèi)繩中產(chǎn)生的張力遠(yuǎn)大于物體對(duì)拖車的摩擦力，可以認(rèn)為僅是小車與拖車間發(fā)生了相互作用．對(duì)小車與拖車由水平方向動(dòng)量守恒：
m₁v₀=（m₁+m₂）v₁₂，
得繩剛拉緊時(shí)兩者的共同速度${v}_{12}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}=\frac{20}{20+25}×3=\frac{4}{3}m/s$

此后，由于物體和拖車間形成了相對(duì)速度，拖車對(duì)物體產(chǎn)生摩擦力f（f=μm₃g），使物體向前（與v₁₂同向）作加速運(yùn)動(dòng)，物體對(duì)拖車的摩擦力f′（f′=f）使拖車（包括小車）作減速運(yùn)動(dòng)，直至物體和拖車（包括小車）以共同速度u運(yùn)動(dòng)．在這個(gè)過(guò)程中，設(shè)拖車（包括小車）對(duì)地面的位移為s₂，物體對(duì)地面的位移為s₃，對(duì)拖車位移為d，如圖所示．根據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)拖車和小車：
$-f′{s}_{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{u}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{{v}_{12}}^{2}$
即$μ{m}_{3}g{s}_{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）（{{v}_{12}}^{2}-{u}^{2}）$
對(duì)物體$f{s}_{3}=\frac{1}{2}{m}_{3}{u}^{2}$
即$μ{m}_{3}g{s}_{3}=\frac{1}{2}{m}_{3}{u}^{2}$
由此解得拖車和物體的位移分別為
${s}_{2}=\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）（{{v}_{12}}^{2}-{u}^{2}）}{2μ{m}_{3}g}$=$\frac{（20+25）（\frac{16}{9}-1）}{2×0.20×15×10}m=\frac{7}{12}m$．
${s}_{3}=\frac{{u}^{2}}{2μg}=\frac{1}{2×0.20×10}m=\frac{1}{4}m$．
所以，物體在拖車平板上移動(dòng)的距離d=${s}_{2}-{s}_{3}=\frac{7}{12}-\frac{1}{4}m=\frac{1}{3}m≈0.33m$．
答：（1）當(dāng)m₁、m₂、m₃以同一速度前進(jìn)時(shí)，速度的大小為1m/s．（2）物體在拖車平板上移動(dòng)的距離為0.33m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，關(guān)鍵要合理地選擇研究的系統(tǒng)，研究的過(guò)程，運(yùn)用合適的定律進(jìn)行求解．