Question

2．如圖，質(zhì)量為m的小球b用長(zhǎng)h的細(xì)繩懸掛于水平軌道BC的出口C處．質(zhì)量也為m的小球a，從距BC高h(yuǎn)的A處由靜止釋放，沿光滑軌道ABC滑下，在C處與b球正碰并與b粘在一起．已知BC軌道距地面的高度為0.5h．試問(wèn)：
（1）a與b球碰前瞬間的速度多大？
（2）a、b兩球碰后瞬間，細(xì)繩對(duì)小球的拉力多大？
（3）若細(xì)繩能承受的最大拉力為2.8mg，則小球在DE水平面上的落點(diǎn)距C的水平距離是多少？

Answer 1

分析 （1）小球a由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，求出與b球碰撞前的速度v_c；
（2）ab兩球碰撞過(guò)程中，動(dòng)量守恒，可求出碰后ab兩球的共同速度，由圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可求出，ab兩球以這么大的速度作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子需要提供的力的大��；
（3）與繩子的承受能力比較，判斷出繩子會(huì)斷裂，ab兩球一起做平拋運(yùn)動(dòng)，再由平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出水平距離．

解答 解：（1）設(shè)a球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)速度為v_c，則由機(jī)械能守恒得：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$                                 
解得：${v}_{c}=\sqrt{2gh}$
即a與b球碰前的速度為$\sqrt{2gh}$
（2）設(shè)b球碰后的共同速度為v，在碰撞的過(guò)程中水平方向的動(dòng)量守恒，選擇向左為正方向，由動(dòng)量守恒得：
mv_c=（m+m）v                               
故有：$v=\frac{1}{2}{v}_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$                            
小球被細(xì)繩懸掛繞O擺動(dòng)時(shí)，若細(xì)繩拉力為T，則有：
$T-2mg=2m\frac{{v}^{2}}{h}$                               
解得：T=3mg                                   
（3）由于T＞2.8mg，細(xì)繩會(huì)斷裂，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)平拋的時(shí)間為t，則有：
$0.5h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$                                    
$t=\;\sqrt{\frac{h}{g}}$                                        
故落點(diǎn)距C的水平距離為：
$S=vt=\frac{1}{2}\sqrt{2gh}×\sqrt{\frac{h}{g}}=\frac{\sqrt{2}}{2}h$               
小球最終落到地面距C水平距離$\frac{\sqrt{2}}{2}h$處．
答：（1）a與b球碰前瞬間的速度為$\sqrt{2gh}$．
（2）a、b兩球碰后瞬間，細(xì)繩對(duì)小球的拉力是3mg；
（3）a、b兩球碰后，細(xì)繩會(huì)斷裂，小球在DE水平面上的落點(diǎn)距C的水平距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}h$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒、平拋運(yùn)動(dòng)以及關(guān)于向心力的計(jì)算．
當(dāng)只有重力（或系統(tǒng)內(nèi)的彈力）做功時(shí)，機(jī)械能守恒，減少的重力勢(shì)能（或彈簧的彈性勢(shì)能）轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能．可用表達(dá)式△E_k=mg△h來(lái)計(jì)算．
關(guān)于動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，首先要確定研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，判斷是否符合守恒的條件，然后確定正方向，列式求解．
對(duì)于平拋引動(dòng)，要把運(yùn)動(dòng)分解成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行的時(shí)間由拋出點(diǎn)的高度決定；水平位移由拋出點(diǎn)的高度和拋出時(shí)的速度共同決定．
關(guān)于向心力的計(jì)算，首先要正確的對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，找出沿半徑方向上所有力的合力，即為向心力，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)公式來(lái)解決問(wèn)題．