Question

7．如圖所示，半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道最低點D與水平面相切，在D點右側L=4R處用長為R的輕繩將質量為m的小球B（可看為質點）懸掛于O點，小球B的下端恰好與水平面接觸，質量為m的小球A（可看為質點）自圓弧軌道C的正上方H高處由靜止釋放，恰好從圓弧軌道的C點切入圓弧軌道，已知小球A與水平面間的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度為g．求：
（1）若H=R，小球A達到圓弧軌道最低點D時所受軌道的支持力；
（2）若小球A與B發(fā)生彈性碰撞后，B球恰好能通過最高點，求碰撞后瞬間B球的速度及H的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從靜止到D過程機械能守恒，應用機械能守恒定律求出到達D點的速度，然后由牛頓第二定律求出支持力．
（2）B球恰好能通過最高點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出B點到達最高點時的速度，由機械能守恒求出碰撞后B球的速度．兩小球發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)的動量與機械能均守恒，應用動量守恒定律、機械能守恒定律可以求出高度H．

解答 解：（1）小球A從最高點落到D點過程中有 $mg（H+R）=\frac{1}{2}mv_D^2$ ①
在D點有 $N-mg=\frac{mv_D^2}{R}$ ②
由①②得 N=5mg ③
（2）設碰撞后B的速度分別v_B，B恰好通過最高點時的速度為v
B在最高點有   $mg=\frac{{m{v^2}}}{R}$ ④
對B在碰后到最高點過程有  $\frac{1}{2}mv_B^2=mg2R+\frac{1}{2}m{v^2}$ ⑤
由④⑤得${v_B}=\sqrt{5gR}$ ⑥
設碰撞前A的速度為v₀，碰撞后A的速度為v_A，取向右為正方向，對AB在碰撞過程，由動量守恒定律有
  mv₀=mv_A+mv_B ⑦
根據機械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$  ⑧
對A從H高的地方落下到碰前的過程中有 $mg（H+R）=\frac{1}{2}mv_0^2+μmgL$ ⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨解得 H=3.5R ⑩
答：
（1）若H=R，小球A達到圓弧軌道最低點D時所受軌道的支持力是5mg；
（2）若小球A與B發(fā)生彈性碰撞后，B球恰好能通過最高點，碰撞后瞬間B球的速度為$\sqrt{5gR}$，H的大小為3.5R．

點評 本題考查了求支持力、求H大小與范圍，分析清楚物體運動過程，抓住B球到達最高點的臨界條件是正確解題的前提與關鍵，應用機械能守恒定律、動量守恒定律、牛頓第二定律即可正確解題．