Question

如圖所示，在xOy平面內(nèi)的第一象限內(nèi)存在沿Y軸正方向的勻強電場，在第四象限存在有界的磁場，磁感應(yīng)強度B=9.0×10^-3T，有一質(zhì)量為m=9.0×10^-31kg，電量為e=1.6×10^-19C的電子以v₀=2.0×10⁷m/s的速度從Y軸的p點（0，2.5

3

cm）沿X軸正方向射入第一象限，偏轉(zhuǎn)后從X軸的Q點射入第四象限，方向與X軸成60⁰角，在磁場中偏轉(zhuǎn)后又回到Q點，方向與X軸也成60⁰角．不計電子重力，求：
（1）OQ之間的距離及電子通過Q點的速度大�。�
（2）若在第四象限內(nèi)的磁場的邊界為直線邊界，即在虛線Y=Y₀的下方有磁場，如圖中所示．求Y₀的坐標．
（3）若在第四象限內(nèi)的磁場為圓形邊界的磁場，圓形邊界的磁場的圓心坐標的范圍．

Answer 1

分析：（1）由Q點的速度方向與x軸成60⁰角，因已知初速度，由三角函數(shù)關(guān)系，可以得到Q點速度大小．在由平拋規(guī)律可以得到平拋的水平位移即為OQ之間的距離．
（2）由電子在磁場中的圓周運動可以到的其軌道半徑，在由數(shù)學幾何關(guān)系可以得到y(tǒng)軸上y₀的坐標．
（3）首先來確定圓心的x軸坐標：由于入射方向與X軸成60⁰角，在磁場中偏轉(zhuǎn)后又回到Q點，方向與X軸也成60⁰角，故其圓心應(yīng)在Q點的正下方，可知圓心x坐標．
磁場圓心y軸坐標的最小值為：磁場半徑大于電子軌道半徑時，由數(shù)學幾何關(guān)系得到的坐標．磁場圓心y軸坐標的最大值為：由于磁場必須在第四象限，由其圓心必在Q點的正下方，故其半徑不應(yīng)大于5cm，由此得到的磁場圓心坐標即為其最大值．

解答：解：
（1）電子在電場做類平拋運動，在Q點速度方向與X軸成60⁰角，故
v=

v0

cos60°

=4.0×10⁷m/s
又由平拋規(guī)律：
x=v₀t
y=

vy

2

t
其中：
v_y=v₀tan60°
解得：x=5cm
（2）電子在磁場中做勻速圓周運動，故有：
qvB=m

v2

R

由幾何關(guān)系可知，電子回到Q點有：
y₀=Rsin60°tan60°
解得：
y₀=3.75cm
（3）由于在磁場中偏轉(zhuǎn)后又回到Q點，方向與X軸也成60⁰角．其運動軌跡如圖：
由幾何關(guān)系可知，圓形磁場的圓心在Q點的正下方，即：x=5cm
圓形磁場應(yīng)與電子軌跡有公共弦，同時只要磁場半徑r大于R即可，故磁場圓心y軸的最小坐標為：
y=y₀+Rcos60°=5cm
圓形磁場在第四象限，磁場半徑應(yīng)小于5cm，由幾何關(guān)系可知，磁場圓心y軸的最大坐標為：
y=y0+

r2+(Rcos30°)2

=

15+5 13

4

cm
即圓形磁場的圓心的坐標應(yīng)滿足：
x=5cm

15+5 13

4

cm≤y＜-5cm
答：
（1）OQ之間的距離為5cm，電子通過Q點的速度大小為4.0×10⁷m/s
（2）Y₀的坐標y₀=3.75cm
（3）圓形邊界的磁場的圓心坐標的范圍即圓形磁場的圓心的坐標應(yīng)滿足：x=5cm，

15+5 13

4

cm≤y＜-5cm

點評：本題難點在第三問，一：要由其入射和出射的角度相同，判定出來圓心應(yīng)在Q點的正下方（對稱性）．二：要依據(jù)題目給定的條件判定最大值和最小值分別在什么情況下出現(xiàn)，這個沒有統(tǒng)一的方法，只能具體題目具體分析，要點就是去找題目當中給定的限定條件，如本題中要求必須在第四象限，由此我們就可以去頂其圓心坐標的最大值．