Question

10．如圖所示，光滑圓管形軌道AB部分平直，BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，圓管截面半徑r＜＜R，有一質(zhì)量m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速v₀射入圓管．
（1）若要小球能從C端出來，初速v₀至少多大？
（2）在小球從C端出來瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況．初速v₀各應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)球恰好能從C端出來時，速度為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球為研究對象，小球經(jīng)過C點時速度不同，管壁對球的作用力大小和方向不同，分析討論：當(dāng)管壁對球無作用力時，在C點由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出在C點的速度，由機(jī)械能守恒定律求出初速v₀．當(dāng)初速度大于和小于臨界速度時，由向心力知識分析管壁對球的作用力大小和方向．

解答 解：（1）當(dāng)球恰好能從C端出來時，速度v_C=0．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$，
解得：v₀=2$\sqrt{gR}$
所以要使小球能從C端出來，初速度v₀≥2$\sqrt{gR}$．
（2）在小球從C端出來的瞬間，對管壁壓力有三種典型情況：
①當(dāng)管壁對球無作用力時，即N=0時，由mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：mg•2R+$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$．
②當(dāng)管壁對球的作用力方向向下時，球?qū)�管壁的壓力方向向上，此時v₀＞$\sqrt{5gR}$．
③當(dāng)管壁對球的作用力方向向上時，球?qū)�管壁的壓力方向向下，此時2$\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．
答：（1）要使小球能從C端出來，初速度v₀≥2$\sqrt{gR}$．
（2）在小球從C端出來的瞬間，對管壁壓力有三種典型情況：
①球?qū)�管壁無作用力，v₀=$\sqrt{5gR}$．
②球?qū)�管壁的壓力方向向上，v₀＞$\sqrt{5gR}$．
③球?qū)�管壁的壓力方向向下�?$\sqrt{gR}$≤v₀＜$\sqrt{5gR}$．

點評 本題是機(jī)械能守恒定律與向心力知識的結(jié)合，考查綜合應(yīng)用物理規(guī)律的能力．對于小球在管子里的運動情形與輕桿模型類似，關(guān)鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點和在最高點恰好不受管壁作用力兩種情況．