Question

9．如圖所示，光滑桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，其B端固定一根勁度系數(shù)為k=100N/m，原長(zhǎng)為l₀=0.4m的輕質(zhì)彈簧，質(zhì)量為m=1kg的小球套在光滑桿上并與彈簧的上端連接；OO′為過(guò)B點(diǎn)的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為θ=37°（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）當(dāng)桿保持靜止?fàn)顟B(tài)，在彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，靜止釋放小球，求小球速度最大時(shí)彈簧的壓縮量△l₁；
（2）當(dāng)球隨桿一起繞OO′軸以角速度ω₀=$\frac{1}{cosθ}\sqrt{\frac{2gsinθ}{L}}$勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球恰好能穩(wěn)定在桿上的某一位置P處（圖中未畫(huà)出）．保持ω₀不變，小球受輕微擾動(dòng)后沿桿上滑，到最高點(diǎn)A時(shí)其沿桿對(duì)其所做的功W．（結(jié)果用m、g、v_y、θ、L表示）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小球的加速度為零時(shí)，速度最大，結(jié)合平衡求出彈簧的壓縮量．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小球做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)距離B點(diǎn)的距離，求出此時(shí)小球的動(dòng)能，結(jié)合最高點(diǎn)的動(dòng)能，運(yùn)用動(dòng)能定理求出桿對(duì)小球做功的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)小球加速度為零時(shí)，速度最大，此時(shí)受力平衡，則有：mgsinθ=k△l₁，
解得彈簧的壓縮量為：$△{l}_{1}=\frac{mgsinθ}{k}=\frac{10×0.6}{100}=0.06m$
（2）當(dāng)桿繞OO′軸以角速度ω₀勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，設(shè)小球距離B點(diǎn)L₀，此時(shí)有：
$mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}lcosθ$，
解得：$l=\frac{L}{2}$．
此時(shí)小球的動(dòng)能為：${E}_{K0}=\frac{1}{2}m（{ω}_{0}lcosθ）^{2}=\frac{1}{4}mgLsinθ$．
小球在最高點(diǎn)A離開(kāi)桿瞬間的動(dòng)能為：${E}_{KA}=\frac{1}{2}m[（{ω}_{0}Lcosθ）^{2}+{{v}_{y}}^{2}]=mgLsinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$．
根據(jù)動(dòng)能定理有：W-mg（L-l）sinθ=E_kA-E_k0，
解得：W=$\frac{5}{4}mgLsinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$．
答：（1）當(dāng)桿保持靜止?fàn)顟B(tài)，在彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，靜止釋放小球，小球速度最大時(shí)彈簧的壓縮量△l₁為0.06m；
（2）保持ω₀不變，小球受輕微擾動(dòng)后沿桿上滑，到最高點(diǎn)A時(shí)其沿桿對(duì)其所做的功W為$\frac{5}{4}mgLsinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、胡克定律與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，知道小球做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，靠徑向的合力提供向心力，由靜止釋放時(shí)，加速度為零時(shí)速度最大，難度適中．