Question

13．天文學家通過觀測雙星軌道參數(shù)的變化來間接證明引力波的存在．2016年2月11日，LIGO宣布于2015年9月14日直接探測到引力波．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為L經(jīng)過一段時間演化后，兩星的總質(zhì)量不變，但是兩星間的距離變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{n}$，此后雙星做圓周運動的周期為（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{1}{{n}^{3}}}$T
• B． $\sqrt{\frac{1}{{n}^{2}}}$T
• C． $\sqrt{\frac{1}{n}}$T
• D． $\frac{1}{n}$T

Answer 1

分析 雙星做勻速圓周運動具有相同的角速度，靠相互間的萬有引力提供向心力，得到雙星的周期與總質(zhì)量的關系，再結(jié)合已知量分析得出結(jié)論．

解答 解：設雙星質(zhì)量分別為${m}_{1}^{\;}$、${m}_{2}^{\;}$，之間的距離原來是L，后來是$\frac{1}{n}L$，原來周期T，后來T′，雙星靠它們之間的萬有引力提供向心力
對${m}_{1}^{\;}$：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
對${m}_{2}^{\;}$：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$
解得${m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{{GT}_{\;}^{2}}$
${m}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}$
${m}_{總}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{m}_{總}^{\;}}}$
由題知，總質(zhì)量不變，距離變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{n}$，周期變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{\frac{1}{{n}_{\;}^{3}}}$
即$T′=\sqrt{\frac{1}{{n}_{\;}^{3}}}T$
故選：A

點評 解決本題的關鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，知道雙星具有相同的周期和角速度，應用萬有引力定律與牛頓第二定律即可正確解題．