Question

16．在某星球表面上，宇航員從離地4m高處以v₀=4m/s水平初速度拋出一小球，測得小球落地的水平位移為4m，然后用長4m的繩將小球系在O點，并在最高點以v₁=6m/s的水平速度拋出，如圖所示，小球質量m=0.5kg，取地球表面處重力加速度g_o=10m/s²求：
（1）星球表面的重力加速度；
（2）若此星球密度與地球密度相等，此星球半徑與地球半徑之比；
（3）小球運動到O點正下方的速度；
（4）小球運動到O點正下方時繩子的拉力．

Answer 1

分析 （1）平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，結合平拋運動的規(guī)律求出星球表面的重力加速度．
（2）根據萬有引力等于重力求出星球與地球的質量表達式，再得到密度表達式，結合密度相等求半徑之比．
（3）根據最高點的臨界速度$\sqrt{gr}$分析小球的運動情況，再由機械能守恒定律求速度．
（4）由牛頓第二定律求繩子的拉力．

解答 解：（1）設星球表面的重力加速度為g．小球做平拋運動，則有：
x=v₀t，
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得 g=8m/s²．
（2）對于任一天體，在天體表面有：
mg=$\frac{GmM}{{R}^{2}}$
則得天體的質量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
天體的密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$
據題，星球密度與地球密度相等，則得星球半徑與地球半徑之比：
$\frac{{R}_{星}}{{R}_{地}}$=$\frac{{g}_{星}}{{g}_{地}}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$ 
（3）因v₁=6m/s＞$\sqrt{gr}$=$\sqrt{8×4}$=4$\sqrt{2}$m/s，所以小球以O點為圓心做圓周運動，由機械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+2mgr
解得小球運動到O點正下方的速度為：
v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+4gr}$=$\sqrt{{6}^{2}+4×8×4}$=$\sqrt{164}$≈12.8m/s
（4）小球運動到O點正下方時，有：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
代入數據解得：T=24.5N
答：（1）星球表面的重力加速度是8m/s²；
（2）若此星球密度與地球密度相等，此星球半徑與地球半徑之比為4：5；
（3）小球運動到O點正下方的速度為12.8m/s；
（4）小球運動到O點正下方時繩子的拉力為24.5N．

點評 本題中根據萬有引力等于重力，是求解天體質量的一種方法．要正確分析小球的運動情況，要注意若v₁=6m/s＜$\sqrt{gr}$，小球將先做平拋運動，繩子繃緊后再做圓周運動．