Question

用磁聚焦法測比荷的裝置如圖所示．在真空玻璃管中裝有熱陰極K和帶有小孔的陽極A．在A、K之間加上電壓U后，不斷地有電子從陰極K由靜止加速到達(dá)陽極A，并從小孔射出．接著電子進(jìn)入平行板電容器C，電容器兩極板間加有不大的交變電場，使不同時刻通過的電子發(fā)生不同程度的偏轉(zhuǎn)；電容器C和熒光屏S之間加一水平向右的均勻磁場，電容器和熒光屏間的距離為L，電子經(jīng)過磁場后打在熒光屏上，將磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度從零開始緩慢增大到為B時，熒光屏上的光點(diǎn)的銳度最大（這時熒光屏S上的亮斑最�。�．
（1）若平行板電容器C的板長為

L

4

，求電子經(jīng)過電容器和磁場區(qū)域的時間之比；
（2）用U、B、L表示出電子的比荷；
（3）在磁場區(qū)域再加一勻強(qiáng)電場，其電場強(qiáng)度的大小為E=

U

L

，方向與磁場方向相反，若保持U、L和磁場方向不變，調(diào)節(jié)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，仍使電子在熒光屏上聚焦，則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小滿足的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）首先要通過題意判斷出電子在電容器中運(yùn)動時水平方向上的速度不變，電子進(jìn)入磁場后要做等距螺旋運(yùn)動，在水平方向速度不變，且與在電容器間運(yùn)動時的水平速度相等，從而可知在這兩種區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動時間關(guān)系．
（2）電子首先在加速電場中加速，由能量的轉(zhuǎn)化守恒可知電子進(jìn)入電容器時的速度，在電容器內(nèi)部做較復(fù)雜的曲線運(yùn)動，都是在水平方向速度不變；進(jìn)入磁場時，速度與磁場有夾角，電子做等距螺旋運(yùn)動，由運(yùn)動的特征可知圓周運(yùn)動的周期是相同的．當(dāng)電子正好在磁場中運(yùn)動一個周期的情況時，銳度最大．
（3）在磁場中加上與磁場相反的電場后，電子受到了水平向右的電場力，在是水平方向上，電子做勻加速運(yùn)動，由能量可知電子達(dá)到S屏是的速度；由平均速度可求出在復(fù)合場中的運(yùn)動時間，要使電子在熒光屏上聚焦，運(yùn)動時間就應(yīng)是做圓周運(yùn)動的周期的整數(shù)倍．

解答：解：
（1）由題意可知電子在電場和磁場中均沿水平方向做勻速直線運(yùn)動且水平方向上的速度相同，所以時間之比為1：4
（2）在加速電場中，由能量的轉(zhuǎn)化與守恒有：
Ue=

1

2

mv2
電子在電容器間運(yùn)動會發(fā)生一定的偏轉(zhuǎn)，故進(jìn)入磁場時速度與磁場方向會有一定的夾角，所以在磁場中運(yùn)動的軌跡為螺旋線，水平速度均相同，圓周運(yùn)動的周期也相同，要使得銳度最大則應(yīng)滿足：

L

v

=

2πm

eB

聯(lián)立解得

e

m

=

8π2U

L2B2

（3）在K、A間，Ue=

1

2

mv2
設(shè)打在S上的水平方向速度為v'，Ue+ELe=

1

2

mv′2
設(shè)電子在復(fù)合場中的時間為t，電子在復(fù)合場中沿水平方向做勻加速運(yùn)動，t=

L

. v

=

2L

v+v′

要使得銳度最大則應(yīng)滿足：t=n

2πm

eB′

（n=1、2、3…）  
解得：B′=

( 2 +1)

2

nB（n=1、2、3…）
答：（1）電子經(jīng)過電容器和磁場區(qū)域的時間之比為1：4；
    （2）電子的比荷為

8π2U

L2B2

；
    （3）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小應(yīng)為

( 2 +1)

2

nB（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評：此題是一道質(zhì)量非常高的題，既考察了電子在靜電場中的加速，又考察了電子垂直于電場方向進(jìn)入交變電場后的運(yùn)動特征，還考察了電子在勻強(qiáng)磁場中做等距螺旋運(yùn)動的特征．
解答此題的關(guān)鍵首先是正確分析在各個過程中的運(yùn)動規(guī)律和特點(diǎn)，了解速度的變化，結(jié)合能量、運(yùn)動學(xué)公式和牛頓運(yùn)動定律進(jìn)行解題．
帶電粒子在復(fù)合場運(yùn)動，若帶電粒子所受合外力不斷變化且與粒子的速度不在一條直線時，粒子將做較復(fù)雜的曲線運(yùn)動，解決此類問題通常用能量的觀點(diǎn)解決．