Question

18．如圖，第一象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，第二，三，四象限存在方向垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中第二象限的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，第三，四象限磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，一帶正電的粒子，從P（-d，0）點(diǎn)沿與x軸正方向成α=60°角平行xOy平面入射，經(jīng)第二象限后恰好由y軸上的Q點(diǎn)（圖中未畫出）垂直y軸進(jìn)入第一象限，之后經(jīng)第四，三象限重新回到P點(diǎn)，回到P點(diǎn)時(shí)速度方向與入射時(shí)相同，不計(jì)粒子重力，求：
（1）粒子從P點(diǎn)入射時(shí)的速度v₀；
（2）第三，四象限磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B′．

Answer 1

分析 （1）粒子從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意可知粒子在第二象限中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度偏向角為30°，則軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為30°，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由洛倫茲力等于向心力，求解速度v₀．
（2）粒子進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)粒子經(jīng)第四、三象限重新回到P點(diǎn)，回到P點(diǎn)時(shí)速度方向與入射時(shí)相同，可知粒子進(jìn)入第四象限時(shí)速度與x軸正方向的夾角為α，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的水平位移，從而粒子在第三、四象限運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，即可求解B′．

解答 解：（1）粒子從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡如圖，設(shè)粒子在第二象限圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由幾何知識(shí)得：
  r=$\fracgiae4uh{sinα}$=$\frac0pg6ofv{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
根據(jù)qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得 v₀=$\frac{2\sqrt{3}qBd}{3m}$
粒子在第一象限中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  r（1-cos60°）=$\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
  tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{qE}{m}t}{{v}_{0}}$
聯(lián)立解得 v₀=$\frac{E}{3B}$
（2）設(shè)粒子在第一象限類平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直位移分別為x和y，根據(jù)粒子在第三、四象限圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知粒子剛進(jìn)入第四象限時(shí)速度與x軸正方向的夾角等于α．
則有：x=v₀t，y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
得 $\frac{y}{x}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$=$\frac{tanα}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由幾何知識(shí)可得 y=r-rcosα=$\frac{r}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}d$
則得 x=$\frac{2}{3}d$
所以粒子在第三、四象限圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 R=$\frac{\frac{1}{2}（d+\frac{2}{3}d）}{sinα}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$d
粒子進(jìn)入第三、四象限運(yùn)動(dòng)的速度 v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=2v₀=$\frac{4\sqrt{3}qBd}{3m}$
根據(jù)qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：B′=$\frac{12}{5}$B
答：
（1）粒子從P點(diǎn)入射時(shí)的速度v₀為$\frac{E}{3B}$．
（2）第三，四象限磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B′為$\frac{12}{5}$B．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，以及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，會(huì)確定圓心、半徑和圓心角，這是解決粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵．