Question

如圖，讓小球從半徑R=1m的光滑

1

4

圓弧PA的最高點(diǎn)P由靜止開始滑下，圓心O在A點(diǎn)的正上方，自A點(diǎn)進(jìn)入粗糙的水平面做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)小孔B進(jìn)入半徑r=0.3m的豎直放置的光滑豎直圓弧軌道，當(dāng)小球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉B孔，小球恰好能做圓周運(yùn)動(dòng)．已知小球質(zhì)量m=0.5kg，A點(diǎn)與小孔B的水平距離x=2m取g=l0m/s²（最后結(jié)果可用根式表示）．求：
（1）小球到達(dá)最低點(diǎn)A時(shí)的速度以及小球在最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到光滑豎直圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度大�。�
（3）求粗糙水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．

Answer 1

分析：（1）對(duì)PA段運(yùn)用動(dòng)能定理求解到A點(diǎn)的速度；在A點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解支持力；結(jié)合牛頓第三定律得到壓力；
（2）小球恰好能做圓周運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解C點(diǎn)速度；根據(jù)動(dòng)能定理對(duì)BC過程列式求解B點(diǎn)的速度；
（3）對(duì)AB過程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解動(dòng)摩擦因素．

解答：解：（1）對(duì)PA段運(yùn)用動(dòng)能定理，得：
mgR=

1

2

m

v

2 A

代入數(shù)據(jù)解得：vA=

20

m/s
在最低點(diǎn)有：F_N-mg=m

v 2 A

R

解得：F_N=mg+m

v 2 A

R

=5+0.5×

20

1

=15N
由牛頓第三定律可知：小球在最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道的壓力為15N；
（2）小球恰好能做圓周運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)C時(shí)，有：mg=m

v 2 C

r

解得：vc=

3

m/s
由動(dòng)能定理得：mg?2r=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 C

代入數(shù)據(jù)得：小球在B點(diǎn)時(shí)的速度為vB=

15

m/s
（3）對(duì)AB段運(yùn)用動(dòng)能定理，有：
-μmgx=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

解得：μ=0.125
答：（1）小球到達(dá)最低點(diǎn)A時(shí)的速度為

20

m/s，小球在最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道的壓力為15N；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到光滑豎直圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小為

15

m/s；
（3）求粗糙水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.125．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律并結(jié)合向心力公式列式求解．