(2013?安徽)如圖所示,質(zhì)量為M傾角為α的斜面體(斜面光滑且足夠長)放在粗糙的水平地面上,底部與地面的動摩擦因數(shù)為μ,斜面頂端與勁度系數(shù)為k、自然長度為l的輕質(zhì)彈簧相連,彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊.壓縮彈簧使其長度為
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l時將物塊由靜止開始釋放,且物塊在以后的運動中,斜面體始終處于靜止狀態(tài).重力加速度為g.
(1)求物塊處于平衡位置時彈簧的長度;
(2)選物塊的平衡位置為坐標原點,沿斜面向下為正方向建立坐標軸,用x表示物塊相對于平衡位置的位移,證明物塊做簡諧運動;
(3)求彈簧的最大伸長量;
(4)為使斜面始終處于靜止狀態(tài),動摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足什么條件(假設(shè)滑動摩擦力等于最大靜摩擦力)?
分析:(1)物體平衡時,受重力、支持力和彈簧的彈力,三力平衡,根據(jù)平衡條件并結(jié)合正交分解法和胡克定律列式求解;
(2)簡諧運動的回復(fù)力滿足F=-kx形式;
(3)簡諧運動具有對稱性,先求解出振幅,然后確定最大伸長量;
(4)當滑塊處于任意位移x處時,能保持靜止即可,對斜面體受力分析后根據(jù)平衡條件列式求解,然后將最大位移打入即可.
解答:解:(1)物體平衡時,受重力、支持力和彈簧的彈力,根據(jù)平衡條件,有:
mgsinα=k?△x
解得:△x=
mgsinα
k

故彈簧的長度為l+
mgsinα
k
;
(2)物體到達平衡位置下方x位置時,彈力為:k(x+△x)=k(x+
mgsinα
k
);
故合力為:F=mgsinα-k(x+
mgsinα
k
)=-kx;
故物體做簡諧運動;
(3)簡諧運動具有對稱性,壓縮彈簧使其長度為
3
4
l時將物塊由靜止開始釋放,故其振幅為:
A=
1
4
l+△x=
1
4
l+
mgsinα
k
;
故其最大伸長量為:A+△x=(
1
4
l+
mgsinα
k
)+
mgsinα
k
=
l
4
+
2mgsinα
k
;
(4)設(shè)物塊位移x為正,斜面體受重力、支持力、壓力、滑動摩擦力、靜摩擦力,如圖

根據(jù)平衡條件,有:
水平方向:f+FN1sinα-Fcosα=0
豎直方向:FN2-Mg-FN1cosα-Fsinα=0
又有:F=k(x+△x),F(xiàn)N1=mgcosα
聯(lián)立可得:f=kxcosα,F(xiàn)N2=Mg+mg+kxsinα
為使斜面體保持靜止,結(jié)合牛頓第三定律,應(yīng)該有|f|≤μFN2,所以
μ≥
|f|
FN2
=
k|x|cosα
Mg+mg+kxsinα

當x=-A時,上式右端達到最大值,于是有:
μ≥
(kL+4mgsinα)cosα
4Mg+4mgcos2α-kLsinα


答:(1)物塊處于平衡位置時彈簧的長度為l+
mgsinα
k

(2)證明如上;
 (3)彈簧的最大伸長量為
l
4
+
2mgsinα
k
;
(4)為使斜面始終處于靜止狀態(tài),動摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足的條件為:μ≥
(kl+4mgsinα)cosα
4Mg+4mgcos2α-klsinα
點評:本題關(guān)鍵是先對滑塊受力分析,然后根據(jù)牛頓第二定律列式分析;最后對斜面體受力分析,確定動摩擦因素的最小值,難題.
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