Question

如圖所示，矩形區(qū)域I和II內(nèi)分別存在方向垂直于紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（AA′、BB′、CC′、DD′為磁場(chǎng)邊界，四者相互平行），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，矩形區(qū)域的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，兩磁場(chǎng)寬度及BB′與CC′之間的距離均相同．某種帶正電的粒子從AA′上O₁處以大小不同的速度沿與O₁A成α=30°角進(jìn)入磁場(chǎng)（如圖所示，不計(jì)粒子所受重力），當(dāng)粒子的速度小于某一值時(shí)，粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t₀．當(dāng)速度為v₀時(shí)，粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t0

5

．求：
（1）粒子的比荷

q

m

；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域I和II的寬度d；
（3）速度為v₀的粒子從O_l到DD′所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)粒子的速度小時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑小，此時(shí)粒子全部在區(qū)域I中運(yùn)動(dòng)，由粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和幾何關(guān)系可以求得粒子的比荷；
（2）根據(jù)粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t0

5

，分析可以知道粒子穿出BB′時(shí)速度方向與BB′垂直，由圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和幾何關(guān)系可以求得磁場(chǎng)的寬度d；
（3）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可以求得在區(qū)域I和II的時(shí)間是相同的，在中間的無磁場(chǎng)的區(qū)域是勻速直線運(yùn)動(dòng)，把三個(gè)區(qū)域的時(shí)間加起來即可．

解答：解：（1）若速度小于某一值時(shí)粒子不能從BB′離開區(qū)域I，只能從AA′邊離開區(qū)域I．則無論粒子速度大小，在區(qū)域I中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同．軌跡如圖所示（圖中只畫了一個(gè)粒子的軌跡）．則粒子在區(qū)域I內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為φ=300°，
由 Bqv=m

v2

R

   T=

2πR

v

          
得：粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

．
由t₀=

5

6

T=

5πm

3qB

        
解得：

q

m

=

5π

3t0B

．
所以粒子的比荷為

q

m

=

5π

3t0B

．
（2）速度為v₀時(shí)粒子在區(qū)域I內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t0

5

，設(shè)軌跡所對(duì)圓心角為φ₂．
由t₀=

T

2π

φ₁     

t0

5

=

T

2π

φ2     
得：φ₂=

1

5

φ1=60°．
所以其圓心在BB′上，穿出BB′時(shí)速度方向與BB′垂直，其軌跡如圖所示，
設(shè)軌道半徑為R，由qv₀B=m

v02

R

      
得：R=

mv0

qB

=

3t0

5π

v₀        d=Rsin60°=

3 3 v0t0

10π

．
磁場(chǎng)區(qū)域I和II的寬度d為

3 3 v0t0

10π

．
（3）區(qū)域I、II寬度相同，則粒子在區(qū)域I、II中運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為

t0

5

，
穿過中間無磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間為t′=

d

v0

=

3 3 t0

10π

，
則粒子從O₁到DD′所用的時(shí)間t=

2t0

5

+

3 3 t0

10π

．
所以速度為v₀的粒子從O_l到DD′所用的時(shí)間為

2t0

5

+

3 3 t0

10π

．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是整個(gè)高中的重點(diǎn)，也是高考的必考的內(nèi)容，粒子的運(yùn)動(dòng)過程的分析是解題的關(guān)鍵．