Question

5．有一種利用電磁分離同位素的裝置，可以將某種化學元素的其它類型的同位素去除而達到濃縮該種特殊的同位素的目的，其工作原理如圖所示．粒子源A產生的初速度為零、電荷量為e、質量為m的氕核，經過電壓為U₀的加速電場加速后勻速通過準直管，從偏轉電場的極板左端中央沿垂直電場方向射入勻強偏轉電場，偏轉后通過位于下極板中心位置的小孔S離開電場，進入范圍足夠大、上端和左端有理想邊界、磁感應強度為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場，磁場區(qū)域的上端以偏轉電場的下極板為邊界，磁場的左邊界MN與偏轉電場的下極板垂直，且MN與小孔S左邊緣相交于M點．已知偏轉極板的長度為其板間距離的2倍，整個裝置處于真空中，粒子所受重力、小孔S的大小及偏轉電場的邊緣效應均可忽略不計．
（1）求偏轉電場兩極板間的電壓；
（2）在磁場邊界MN上設置同位素收集裝置，若氕核的收集裝置位于MN上S₁處，另一種未知帶電粒子落在MN上S₂處，測得S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．求未知帶電粒子的比荷．

Answer 1

分析 （1）設氕核經加速電場加速后的速度為v，根據動能定理求出v，氕核垂直射入勻強偏轉電場，做類平拋運動，根據平拋運動基本公式即可求出；
（2）設氕、未知帶電粒子經加速電場加速后的速度分別為v、v′，根據動能定理列式，求出兩個速度，設氕、未知帶電粒子在平行極板方向通過x所用時間分別為t、t′，根據在平行極板方向做勻速運動求出運動時間，再根據牛頓第二定律求出加速度，最后根據平拋運動基本公式求出氕、未知帶電粒子在磁場中的做圓運動的速度v_S、v_S′，半徑分別為R₁、R₂，根據洛倫茲力提供向心力求出半徑之比，從而結合S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．求出未知帶電粒子的比荷．

解答 解：（1）設氕核經加速電場加速后的速度為v，根據動能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$
氕核垂直射入勻強偏轉電場，在平行極板方向做勻速直線運動，在垂直極板方向做勻加速直線運動．設偏轉極板長為2l，極板間距為l，因為：
l=vt，$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，$a=\frac{qU}{ml}$
聯(lián)立以上方程，整理得：U=2U₀
（2）設未知粒子也帶一個單位的正電荷e，設氕、未知帶電粒子經加速電場加速后的速度分別為v、v′，根據動能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$，$e{U}_{0}=\frac{1}{2}•m′v{′}^{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$，$v′=\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m′}}$
設氕、未知帶電粒子在平行極板方向通過x所用時間分別為t、t′
則有：$t=\frac{x}{v}=\frac{x}{{\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}}}$，$t′=\frac{x}{v′}=\frac{x}{\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m′}}}$
設偏轉電場的場強為E，氕核、未知帶電粒子在偏轉電場中的加速度分別為a、a′，則有：
$a=\frac{eE}{m}$，$a′=\frac{eE}{m′}$
氕核、未知帶電粒子在垂直極板方向上的分速度：$\frac{{v}_{y}}{2}•t=\frac{1}{2}l$，而l=vt，所以：v_y=v．
設氕、未知帶電粒子在磁場中的做圓運動的速度分別為v_S、v_S′，半徑分別為R₁、R₂
則：氕核通過小孔S時速度大小為：${v_S}=\sqrt{2}v=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}=2\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$
氕核通過小孔S時速度方向與極板成45°
未知帶電粒子的速度：${{v}_{S}}^{′}=2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m′}}$，通過小孔S時速度方向與極板成45°
根據牛頓第二定律有：$e{v_S}B=\frac{{m{v_S}^2}}{R_1}$，$e{{v}_{S}}^{′}B=\frac{2m{v}_{S}{\;}^{2}}{{R}_{2}}$
它們的半徑：$R=\frac{m{v}_{s}}{eB}$，$R′=\frac{m′{v}_{s}}{eB}$
由于氕核、未知帶電粒子進入磁場中的角度是相同的，所以它們在磁場中偏轉的角度也相同，S₂M和S₁M分別對應它們的弦長，由于S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．
可知氕核、未知帶電粒子在磁場中運動半徑之比$\frac{R}{R′}=\frac{{S}_{1}M}{{S}_{2}M}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
即：$\frac{R}{R′}=\frac{m{v}_{s}}{m′{v}_{s}′}=\frac{m•2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m}}}{m′•2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m′}}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m′}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
所以：m′=3m
則未知帶電粒子的比荷是$\frac{e}{3m}$
答：（1）偏轉電場兩極板間的電壓是2U₀；（2）未知帶電粒子的比荷是$\frac{e}{3m}$．

點評 明確研究對象的運動過程是解決問題的前提，根據題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題，對于圓周運動，關鍵找出圓周運動所需的向心力，列出等式解決問題，對于粒子垂直射入平行板電容器中的問題，要知道粒子做類平拋運動，能根據平拋運動基本公式求解，難度較大．