Question

5．有一種利用電磁分離同位素的裝置，可以將某種化學(xué)元素的其它類型的同位素去除而達(dá)到濃縮該種特殊的同位素的目的，其工作原理如圖所示．粒子源A產(chǎn)生的初速度為零、電荷量為e、質(zhì)量為m的氕核，經(jīng)過(guò)電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后勻速通過(guò)準(zhǔn)直管，從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的極板左端中央沿垂直電場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后通過(guò)位于下極板中心位置的小孔S離開電場(chǎng)，進(jìn)入范圍足夠大、上端和左端有理想邊界、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域的上端以偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的下極板為邊界，磁場(chǎng)的左邊界MN與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的下極板垂直，且MN與小孔S左邊緣相交于M點(diǎn)．已知偏轉(zhuǎn)極板的長(zhǎng)度為其板間距離的2倍，整個(gè)裝置處于真空中，粒子所受重力、小孔S的大小及偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的邊緣效應(yīng)均可忽略不計(jì)．
（1）求偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)兩極板間的電壓；
（2）在磁場(chǎng)邊界MN上設(shè)置同位素收集裝置，若氕核的收集裝置位于MN上S₁處，另一種未知帶電粒子落在MN上S₂處，測(cè)得S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．求未知帶電粒子的比荷．

Answer 1

分析 （1）設(shè)氕核經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理求出v，氕核垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式即可求出；
（2）設(shè)氕、未知帶電粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度分別為v、v′，根據(jù)動(dòng)能定理列式，求出兩個(gè)速度，設(shè)氕、未知帶電粒子在平行極板方向通過(guò)x所用時(shí)間分別為t、t′，根據(jù)在平行極板方向做勻速運(yùn)動(dòng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，最后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求出氕、未知帶電粒子在磁場(chǎng)中的做圓運(yùn)動(dòng)的速度v_S、v_S′，半徑分別為R₁、R₂，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑之比，從而結(jié)合S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．求出未知帶電粒子的比荷．

解答 解：（1）設(shè)氕核經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$
氕核垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，在平行極板方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直極板方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)偏轉(zhuǎn)極板長(zhǎng)為2l，極板間距為l，因?yàn)椋?br />l=vt，$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，$a=\frac{qU}{ml}$
聯(lián)立以上方程，整理得：U=2U₀
（2）設(shè)未知粒子也帶一個(gè)單位的正電荷e，設(shè)氕、未知帶電粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度分別為v、v′，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$，$e{U}_{0}=\frac{1}{2}•m′v{′}^{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$，$v′=\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m′}}$
設(shè)氕、未知帶電粒子在平行極板方向通過(guò)x所用時(shí)間分別為t、t′
則有：$t=\frac{x}{v}=\frac{x}{{\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}}}$，$t′=\frac{x}{v′}=\frac{x}{\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m′}}}$
設(shè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，氕核、未知帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的加速度分別為a、a′，則有：
$a=\frac{eE}{m}$，$a′=\frac{eE}{m′}$
氕核、未知帶電粒子在垂直極板方向上的分速度：$\frac{{v}_{y}}{2}•t=\frac{1}{2}l$，而l=vt，所以：v_y=v．
設(shè)氕、未知帶電粒子在磁場(chǎng)中的做圓運(yùn)動(dòng)的速度分別為v_S、v_S′，半徑分別為R₁、R₂
則：氕核通過(guò)小孔S時(shí)速度大小為：${v_S}=\sqrt{2}v=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}=2\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$
氕核通過(guò)小孔S時(shí)速度方向與極板成45°
未知帶電粒子的速度：${{v}_{S}}^{′}=2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m′}}$，通過(guò)小孔S時(shí)速度方向與極板成45°
根據(jù)牛頓第二定律有：$e{v_S}B=\frac{{m{v_S}^2}}{R_1}$，$e{{v}_{S}}^{′}B=\frac{2m{v}_{S}{\;}^{2}}{{R}_{2}}$
它們的半徑：$R=\frac{m{v}_{s}}{eB}$，$R′=\frac{m′{v}_{s}}{eB}$
由于氕核、未知帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中的角度是相同的，所以它們?cè)诖艌?chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度也相同，S₂M和S₁M分別對(duì)應(yīng)它們的弦長(zhǎng)，由于S₂M=$\sqrt{3}$S₁M．
可知氕核、未知帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑之比$\frac{R}{R′}=\frac{{S}_{1}M}{{S}_{2}M}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
即：$\frac{R}{R′}=\frac{m{v}_{s}}{m′{v}_{s}′}=\frac{m•2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m}}}{m′•2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m′}}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m′}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
所以：m′=3m
則未知帶電粒子的比荷是$\frac{e}{3m}$
答：（1）偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)兩極板間的電壓是2U₀；（2）未知帶電粒子的比荷是$\frac{e}{3m}$．

點(diǎn)評(píng) 明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解決問(wèn)題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問(wèn)題，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵找出圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，列出等式解決問(wèn)題，對(duì)于粒子垂直射入平行板電容器中的問(wèn)題，要知道粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，能根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求解，難度較大．