Question

如圖所示，在x軸上方有水平向左的勻強電場E₁，在x軸下方有豎直向上的勻強電場E₂，且E₁=E₂=5N/C，在圖中虛線（虛線與y軸負方向成45°角）的右側(cè)和x軸下方之間存在著垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=2T．有一長L=5m的不可伸長的輕繩一端固定在第一象限內(nèi)的O'點，另一端拴有一質(zhì)量M=0.1kg、帶電量q=+0.2C的小球，小球可繞O'點在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，OO'間距為L，與x軸正方向成45°角．先將小球放在O'正上方且繩恰好伸直的位置處由靜止釋放，當小球進入磁場前瞬間繩子繃斷．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小球剛進入磁場區(qū)域時的速度．
（2）細繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功．
（3）小球從進入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上所用的時間及打在x軸上點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）小球由靜止釋放后，先沿電場力和重力的合力方向做勻加速直線運動，直到繩子繃直，繃直瞬間，小球沿繩子方向的速度突然減為零，以垂直于繩子方向的速度進入磁場．先由牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合求出繩子繃緊前瞬間小球的速度，再將此速度分解得到垂直于繩子方向的分速度，由動能定理求解進入磁場時的速度．
（2）根據(jù)動能定理研究繩繃緊過程，求出細繩對小球的彈力所做的功．
（3）小球進入磁場后，由于qE₂=Mg，小球做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出半徑和周期，根據(jù)圓心角，求出小球在磁場中運動的時間．
解答：解：（1）小球先做勻加速直線運動，直到繩子繃直，設(shè)繩繃緊前瞬間速度為v，繩子剛繃緊后小球速度大小為v₂，進入有磁場的區(qū)域時速度的大小為v₃，
則   v²=2ax    
而   F_合=
又小球運動的位移為  x=L 
繩子繃緊后：v₂=vcos45°
由動能定理：Mg-qE₁（L-）=
聯(lián)立解得：v₃=10m/s 
（2）設(shè)細繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功為W，根據(jù)動能定理得
   W=-
解得，W=-5J
（3）小球進入磁場后，由于qE₂=Mg，小球做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得
  qv₃B=m
得 R==，T=
小球在運動半周后以v₃出磁場，做勻速直線運動直到打到x軸上
勻速運動的時間t=，小球從進入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上運動的總時間
t_總=t+=S=1.3s
小球打到x軸上的位置坐標為（-10m，0）
答：
（1）小球剛進入磁場區(qū)域時的速度是10m/s．
（2）細繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功是-5J．
（3）球從進入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上所用的時間是1.3s，打在x軸上點的坐標為（-10m 0）．
點評：本題小球在復(fù)合場中運動，分析受力情況，確定其運動情況是關(guān)鍵，與常規(guī)問題不同的地方是繩子繃緊瞬間小球的速度突變，沿繩子方向的速度立即減至零．