Question

如圖甲所示，一豎直平面內(nèi)的軌道由粗糙斜面 AD 和光滑圓軌道DCE 組成，AD與DCE 相切于D點(diǎn)，C為圓軌道的最低點(diǎn)．將一小物塊置于軌道ADC上離地面高為H處由靜止下滑，用力傳感器測出其經(jīng)過C點(diǎn)時對軌道的壓力N，改變H 的大小，可測出相應(yīng)的N 大小，N隨H的變化關(guān)系如圖乙圖中折線PQI 所示（PQ與QI 兩直線相連接于Q點(diǎn)），QI反向延長交縱軸于F點(diǎn)（0，5.8N），重力加速度g取10m/s²，求：
（1）小物塊的質(zhì)量m；
（2）圓軌道的半徑及軌道DC所對圓心角?（可用角度的三角函數(shù)值表示）；
（3）小物塊與斜面AD間的動摩擦因數(shù)??．

Answer 1

分析：（1）從圖象得到H=0時的彈力，即為物體的重力，從而得到物體的質(zhì)量m；
（2）結(jié)合圖象可以得到當(dāng)H=0.2m時，物體恰好在斜面最低點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和向心力公式聯(lián)立列式求解出圓軌道的半徑R，然后可根據(jù)幾何關(guān)系得到軌道DC所對圓心角；
（3）對滑塊從最高點(diǎn)到C點(diǎn)的過程運(yùn)用動能定理列式，再對最低點(diǎn)運(yùn)用向心力公式和牛頓第二定律列式，聯(lián)立后求解出彈力的一般表達(dá)式，再根據(jù)圖象求解出動摩擦因素．

解答：解：（1）由圖線知：當(dāng)H₁=0時，N₁=5N，此時N₁=mg    故m=0.5kg
即小物塊的質(zhì)量m為0.5kg．
（2）由圖線知：當(dāng)H₂=0.2m時，N₂=7N，此時小物塊恰好由D點(diǎn)下滑
由mgH2=

1

2

m

v

2 2

和N2-mg=m

v 2 2

R

得R=1m
cosθ=

R-H

R

=0.8
即θ=arc0.8=37°
即圓軌道的半徑為1m，軌道DC所對圓心角為37°．
（3）小球從高為H處的斜面上滑到最低點(diǎn)過程．根據(jù)動能定理，有
mgH-μmgcosθ

H-R(1-cosθ)

sinθ

=

1

2

mv2
在最低點(diǎn)，支持力和重力的合力提供向心力，有
N-mg=m

v2

R

解得
N=

2mg

R

(1-

μcosθ

sinθ

)H+mg[1+

μ(1-cosθ)cosθ

sinθ

]
由圖線知，截距mg[1+

μ(1-cosθ)cosθ

sinθ

]=5.8
解得μ=0.3
即小物塊與斜面AD間的動摩擦因數(shù)為0.3．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是對分析清楚滑塊的各個運(yùn)動過程，然后運(yùn)用動能定理、機(jī)械能守恒定律和向心力公式，結(jié)合圖象聯(lián)立方程組求解．