Question

8．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，粗糙的斜面軌道 AB 的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，C是最低點(diǎn)，圓心角∠BOC=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑 R=1.0m，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m=0.2kg可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體，從D點(diǎn)的正上方E點(diǎn)處自由下落，D、E距離h=1.6m，物體與斜面AB之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，r=10m/s²．求：
（1）物體第一次通過C點(diǎn)的速度大小；
（2）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長(zhǎng)度L_AB至少要多長(zhǎng)：
（3）若斜面已經(jīng)滿足（2）要求，物體從E點(diǎn)開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運(yùn)動(dòng)，在此過程中系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量Q的大�。�

Answer 1

分析 （1）物體從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，據(jù)機(jī)械能守恒定律求物體第一次通過C點(diǎn)的速度大小；
（2）要使物體不飛出，則到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度恰為零，則由動(dòng)能定理可求得AB的長(zhǎng)度；
（3）由于摩擦力小于重力的分力，則物體不會(huì)停在斜面上，故最后物體將穩(wěn)定在C為中心的圓形軌道上做往返運(yùn)動(dòng)，由功能關(guān)系可求得熱量Q

解答 解：（1）從E→C，由機(jī)械能守恒得
   mg（h+R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
則 v_C=$\sqrt{2g（h+R）}$=$\sqrt{2×10×（1.6+1）}$=2$\sqrt{13}$m/s
（2）從E→A過程，由動(dòng)能定理得：
      mg[（h+Rcos37°）-L_ABsin37°]-μmgcos37°L_AB=0                  
解得：
斜面長(zhǎng)度至少為：L_AB=2.4m       
（3）因?yàn)閙gsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以，物體不會(huì)停在斜面上．物體最后以C為中心，B為一側(cè)最高點(diǎn)沿圓弧軌道做往返運(yùn)動(dòng)．
從E點(diǎn)開始直至穩(wěn)定，系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量，由能量守恒得：
 Q=△E_P                         
又△E_P=mg（h+Rcos37°）    
解得 Q=4.8J   
所以在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生熱量為4.8J．
答：
（1）物體第一次通過C點(diǎn)的速度大小為2$\sqrt{13}$m/s；
（2）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長(zhǎng)度L_AB至少為2.4m；
（3）若斜面已經(jīng)滿足（1）要求，物體從E點(diǎn)開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運(yùn)動(dòng)，在此過程中系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量Q的大小為4.8J．

點(diǎn)評(píng) 在考查力學(xué)問題時(shí)，常常將動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒及牛頓第二定律等綜合在一起進(jìn)行考查，并且常常綜合平拋、圓周運(yùn)動(dòng)及勻變速直線運(yùn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)的形式