Question

地面上有一個半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺邊緣上的P點(diǎn)在地面上P′點(diǎn)的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L（L＞R），如圖所示．跑道上停有一輛小車，現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出小沙袋，使其落入小車中（沙袋所受空氣阻力不計(jì)）．問：
（1）當(dāng)小車分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時（∠AOB=90°），沙袋被拋出時的初速度各為多大？
（2）若小車在跑道上運(yùn)動，則沙袋被拋出時的初速度在什么范圍內(nèi)？
（3）若小車沿跑道順時針運(yùn)動，當(dāng)小車恰好經(jīng)過A點(diǎn)時，將沙袋拋出，為使沙袋能在B處落入小車中，小車的速率v應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）小車分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時，沙袋從P點(diǎn)開始做的都是平拋運(yùn)動，根據(jù)在豎直方向上的自由落體運(yùn)動，可以求得運(yùn)動的時間，根據(jù)水平方向上的勻速直線運(yùn)動可以求得沙袋的初速度的大��；
（2）小車在A點(diǎn)時水平的位移最小，此時的初速度也是最小的，當(dāng)小車在B點(diǎn)時，水平的位移最大，此時的初速度是最大的，沙袋被拋出時的初速度應(yīng)該在AB兩點(diǎn)的初速度之間；
（3）要使沙袋能在B處落入小車中，在沙袋落到B點(diǎn)時，小車要剛好到達(dá)B位置，小車可以是經(jīng)過

1

4

圓周到達(dá)B點(diǎn)，也可以是經(jīng)過整數(shù)個圓周之后再過

1

4

圓周到達(dá)B點(diǎn)，根據(jù)它們的時間相同可以求得小車速度的關(guān)系．

解答：解：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動，設(shè)它的落地時間為t，則
h=

1

2

gt²
解得 t=

2h g

（1）
當(dāng)小車位于A點(diǎn)時，有
x_A=v_At=L-R（2）
解（1）、（2）得v_A=（L-R）

g 2h

當(dāng)小車位于B點(diǎn)時，有
x_B=v_Bt=

L2+R2

（3）
解（1）、（3）得v_B=

g(L2+R2) 2h

（2）若小車在跑道上運(yùn)動，要使沙袋落入小車，最小的拋出速度為
v_0min=v_A=（L-R）

g 2h

（4）
若當(dāng)小車經(jīng)過C點(diǎn)時沙袋剛好落入，拋出時的初速度最大，有
x_c=v_0mint=L+R （5）
解（1）、（5）得 v_0min=（L+R）

g 2h

所以沙袋被拋出時的初速度范圍為
（L-R）

g 2h

≤v₀≤（L+R）

g 2h

（3）要使沙袋能在B處落入小車中，小車運(yùn)動的時間應(yīng)與沙袋下落時間相同
t_AB=（n+

1

4

）

2πR

v

（n=0，1，2，3…）（6）
所以t_AB=t=

2h g

解得v=

1

2

（4n+1）πR

g 2h

（n=0，1，2，3…）．
答：（1）當(dāng)小車分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時（∠AOB=90°），沙袋被拋出時的初速度為v_A=（L-R）

g 2h

，v_B=

g(L2+R2) 2h

；
（2）若小車在跑道上運(yùn)動，則沙袋被拋出時的初速度范圍為（L-R）

g 2h

≤v₀≤（L+R）

g 2h

；
（3）若小車沿跑道順時針運(yùn)動，當(dāng)小車恰好經(jīng)過A點(diǎn)時，將沙袋拋出，為使沙袋能在B處落入小車中，小車的速率v應(yīng)滿足v=

1

2

（4n+1）πR

g 2h

（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評：本題是對平拋運(yùn)動規(guī)律的考查，在分析第三問的時候，要考慮到小車運(yùn)動的周期性，小車并一定是經(jīng)過

1

4

圓周，也可以是經(jīng)過了多個圓周之后再經(jīng)過

1

4

圓周后恰好到達(dá)B點(diǎn)，這是同學(xué)在解題時經(jīng)常忽略而出錯的地方．