Question

如圖所示，半徑為r，質(zhì)量不計(jì)的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個(gè)垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，在O點(diǎn)的正下方離O點(diǎn)r/2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B．放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問：
（1）當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢能之和減少了多少？
（2）A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少？
（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

Answer 1

分析：（1）重力勢能的變化量等于重力做功的數(shù)值．A球的重力勢能減小，B的重力勢能增加．
（2）兩球組成的系統(tǒng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒．兩小球的角速度相等，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理可以求出小球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度．
（3）在OA向左偏離豎直方向偏角最大時(shí)，小球速度為零，由機(jī)械能守恒定律可以求出最大偏角．

解答：解：（1）當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，A的重力勢能減小mgr，B的重力勢能增加mg

r

2

，所以兩小球的重力勢能之和減少為△E_P=mgr-mg

r

2

=

1

2

mgr
（2）取圓盤最低處的水平面勢能為零，
由機(jī)械能守恒定律可得：mgr=mg

r

2

+

1

2

m（ωr）²+

1

2

m（ω×

r

2

）²，
又 v_A=ωR，
解得v_A=

0.8gr

（3）設(shè) OA向左偏離豎直方向的最大角度是θ，
由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律 得
  mgr×cosθ-mg

r

2

×（1+sinθ ）=0
得 2cosθ=1+sinθ，
4（1-sin2θ）=1+2sinθ+sin2θ，
5sin2θ+2sinθ-3=0
sinθ=0.6
∴θ=37°
答：
（1）當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢能之和減少了

1

2

mgr．
（2）A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是

0.8gr

．
（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是37°．

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用機(jī)械能守恒定律即可正確解題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題是本題的難點(diǎn)，要注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．