Question

（本小題15分）某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為S，比賽時(shí)，某同學(xué)將球置于球拍中心，以大小a的加速度從靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到v₀時(shí)，再以v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)跑至終點(diǎn)。整個(gè)過(guò)程中球一直保持在球中心不動(dòng)。比賽中，該同學(xué)在勻速直線運(yùn)動(dòng)階級(jí)保持球拍的傾角為θ₀ ，如右圖所示。設(shè)球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的空氣阻力與其速度大小成正比，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，不計(jì)球與球拍之間的摩擦，球的質(zhì)量為m，重力加速度為g

（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k

（2）求在加速跑階段球拍傾角θ隨球速v變化的關(guān)系式

（3）整個(gè)勻速跑階段，若該同學(xué)速率仍為v₀ ，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計(jì)球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力的變化，為保證到達(dá)終點(diǎn)前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應(yīng)滿足的條件。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）

【解析】題考查牛頓第二定律的應(yīng)用，當(dāng)物體勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)所受合外力為零，分析物體受力可知重力與阻力的關(guān)系，從而求得常數(shù)K，加速階段設(shè)球拍對(duì)球的支持力為，分析物體受力，建立直角坐標(biāo)系可知支持力的分力與阻力的合力提供加速度，支持力的另一個(gè)分力與重力平衡，從而求得角度大小，當(dāng)物體勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的受力平衡，空氣阻力與重力的合力不變，設(shè)球沿球拍面下滑的加速度大小為，分析物體受力寫(xiě)出牛頓第二定律的質(zhì)子，根據(jù)球不從球拍上掉落的條件求解公式即可

⑴在勻速運(yùn)動(dòng)階段有，

得    

⑵加速階段，設(shè)球拍對(duì)球的支持力為，有

得

⑶以速度v₀勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)空氣的阻力與重力的合力為F，有

 

球拍傾角為時(shí)，空氣阻力與重力的合力不變，設(shè)球沿球拍面下滑的加速度大小為，有 

設(shè)勻速跑階段所用時(shí)間為t，有

球不從球拍上掉落的條件  

得