Question

13．如圖所示，一圓弧軌道固定在地面上，一可以看做質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=3kg的小球以初速度v₀沿光滑的水平臺(tái)面飛出后，恰好從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道，其中B為軌道的最低點(diǎn)，C為最高點(diǎn)且與水平臺(tái)面等高，圓弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角θ=53°，軌道半徑R=2m（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²）．
（1）求小球的初速度v₀的大�。�
（2）若小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)C，求在圓弧軌道上摩擦力對(duì)小球做的功．

Answer 1

分析 （1）小球離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度沿軌道切線方向，將A點(diǎn)的速度分解為水平方向和豎直方向，由下降的高度求出豎直分速度，根據(jù)平行四邊形定則求出水平方向上的分速度，即得到小球的初速度v₀．
（2）小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)C時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出C點(diǎn)的臨界速度，再對(duì)從開始到C的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求摩擦力對(duì)小球做的功．

解答 解：（1）據(jù)題得：小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度沿軌道的切線方向，與水平方向的夾角為θ=53°
小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)豎直分速度設(shè)為v_y，則有 ${v}_{y}^{2}$=2gR（1+cosθ）
解得 v_y=8m/s
由tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得 v₀=6m/s
（2）小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)C，在C點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
   mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
對(duì)小球從平臺(tái)到C點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理得
   W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得，在圓弧軌道上摩擦力對(duì)小球做的功 W_f=-24J
答：（1）小球的初速度v₀的大小是6m/s；
（2）若小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)C，在圓弧軌道上摩擦力對(duì)小球做的功是-24J．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要掌握平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求初速度．要知道動(dòng)能定理是求功常用的方法．