Question

2．如圖所示，半徑R=0.80m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道豎直固定，過最低點的半徑OC處于豎直位置．其右方有底面半徑r=0.2m的轉(zhuǎn)筒，轉(zhuǎn)筒頂端與C等高，下部有一小孔，距頂端h=0.8m．轉(zhuǎn)筒的軸線與圓弧軌道在同一豎直平面內(nèi)，開始時小孔也在這一平面內(nèi)的圖示位置．今讓一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊自A點由靜止開始下落后打在圓弧軌道上的B點，但未反彈，在瞬問碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為O，而沿切線方向的分速度不變．此后，小物塊沿圓弧軌道滑下，到達C點時觸動光電裝置，使轉(zhuǎn)簡立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動起來，且小物塊最終正好進入小孔．已知A、B到圓心O的距離均為R，與水平方向的夾角均為θ=30°，不計空氣阻力，g取lOm/s²．求：
（1）小物塊到達C點時對軌道的壓力大小F_C
（2）轉(zhuǎn)筒軸線距C點的距離L．
（3）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)幾何關(guān)系求得碰后小球速度，從B到C得運動過程中運用動能定理求得到達C的速度，根據(jù)向心力公式及牛頓第三定律即可求解；
（2）小球從C點拋出后做平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本規(guī)律即可求解；
（3）小物塊最終正好進入小孔，結(jié)合圓周運動的周期性知，在小球做平拋運動的時間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$，（n=1，2，3…）．由此求解．

解答 解：（1）小物塊由A→B的過程中，
  2mgRsin30°=$\frac{1}{2}$mv_B²
得 v_B=4m/s                                               
在瞬間碰撞過程中，小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為0，沿切線方向的分速度不變．
則碰撞后瞬間小物塊速度
 v_B′=v_Bcos30°=2$\sqrt{3}$m/s                                
小物塊由B→C的過程中根據(jù)動能定理得：
  mgR（1-sin30°）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B′²
解得 v_C=2$\sqrt{5}$m/s                                            
小物塊在C點，根據(jù)向心力公式得：
  F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=3.5N                                                 
所以由牛頓第三定律知，小物塊對軌道壓力的大小 F_C=3.5N    
（2）小球由C到小孔做平拋運動
 h=$\frac{1}{2}$gt²   
解得：t=0.4s                                               
所以L=v_Ct+r=（$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$+0.2）m                                    
（3）小物塊最終正好進入小孔，所以在小球做平拋運動的時間里，轉(zhuǎn)筒正好轉(zhuǎn)了n圈，
即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$，（n=1，2，3…）．
解得：ω=$\frac{2nπ}{t}$=5nπrad/s  （n=1，2，3…）．
答：
（1）小物塊到達C點時對軌道的壓力大小為3.5N；
（2）轉(zhuǎn)筒軸線距C點的距離L為（$\frac{4}{5}\sqrt{5}$+0.2）m；
（3）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω為5nπrad/s  （n=1，2，3…）．

點評 本題是圓周運動與平拋運動相結(jié)合的題目，要掌握平拋運動的研究方法：運動的分解，理解圓周運動的周期性，分析時要抓住平拋運動與圓周運動的同時性．