Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧也緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過(guò)B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=8t-2t²，物塊從桌面右邊緣D點(diǎn)飛離桌面后，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）BP間的水平距離；
（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)；
（3）釋放后m₂在水平桌面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）物塊由D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，根據(jù)物塊過(guò)B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系得出初速度和加速度，進(jìn)而根據(jù)位移-速度公式求出位移；
（2）物塊在內(nèi)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)有臨界速度，則mg=m

vM2

R

，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出M點(diǎn)的速度，與臨界速度進(jìn)行比較，判斷其能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律即可求出m₂釋放后在桌面上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)以v_D做平拋，
落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為：v_y=

2gR

根據(jù)幾何關(guān)系有：

vy

vD

=tan45°
解得：v_D=4m/s
設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，水平位移為x₁，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：R=

1

2

gt²，x₁=v_Dt
解的：x₁=1.6m
由題意可知過(guò)B點(diǎn)后初速度為v₀=8m/s，加速度大小a=4m/s²，減速到v_D
BD間位移為x₂，有v₀²-v_D²=2ax₂，得：x₂=6m
所以BP間水平距離為x=x₁+x₂=1.6+6=7.6m
（2）設(shè)物塊到達(dá)M點(diǎn)的臨界速度為v_M，有：

1

2

m2vM2=

1

2

m₂v_D²-

2

2

m₂gR
解的：v_M=

16-8 2

＜

gR

=

8

所以物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．
（3）設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_P，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，
釋放m₁時(shí)，E_P=μm₁gs_CB
釋放m₂時(shí)，E_P=μm₂gs_CB+

1

2

m₂v₀²
且m₁=2m₂，
可得：E_p=7.2Jm₂釋放后在桌面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做功為W_f，
則由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律得可得W_f=E_P-

1

2

m₂v_D²=5.6J
答：（1）BD間的水平距離為7.6m；
（2）m₂不能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)；
（3）m₂釋放后在桌面上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中克服摩擦力做的功為5.6J．

點(diǎn)評(píng)：該題涉及到多個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，主要考查了機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)及公式較多，難度較大，屬于難題．