Question

（2008?濱州二模）如圖所示的豎直平面內(nèi)有范圍足夠大、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在虛線的左側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小為B，一絕緣軌道由兩段直桿和一半徑為R的半圓環(huán)組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)，PQ、MN水平且足夠長(zhǎng)，半圓環(huán)MAP在磁場(chǎng)邊界左側(cè)，P、M點(diǎn)在磁場(chǎng)邊界線上，NMAP段光滑，PQ段粗糙．現(xiàn)在有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小環(huán)套在MN桿上，它所受電場(chǎng)力為重力的

3

4

倍．現(xiàn)將小環(huán)從M點(diǎn)右側(cè)的D點(diǎn)由靜止釋放，小環(huán)剛好能到達(dá)P點(diǎn)．
（1）求DM間距離x₀；
（2）求上述過程中小環(huán)第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)半圓環(huán)對(duì)小環(huán)作用力的大��；
（3）若小環(huán)與PQ間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等），現(xiàn)將小環(huán)移至M點(diǎn)右側(cè)4R處由靜止開始釋放，求小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）小環(huán)剛好到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度為零，對(duì)D到P為研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出DM間的距離．
（2）對(duì)D到A為研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律，沿半徑方向上合力提供向心力，求出彎桿對(duì)小環(huán)作用力的大小．
（3）需討論摩擦力的大小與電場(chǎng)力的大小關(guān)系，若摩擦力大于電場(chǎng)力，則運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)右側(cè)停止；若摩擦力小于電場(chǎng)力，則環(huán)最終在DP間往復(fù)運(yùn)動(dòng)．根據(jù)動(dòng)能定理求出摩擦力做的功．

解答：解：（1）小環(huán)剛好到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度v_P=0，由動(dòng)能定理得
   qEx₀-2mgR=0                                          
而  qE=

3mg

4

所以x0=

8R

3

（2）設(shè)小環(huán)在A點(diǎn)時(shí)的速度為v_A，由動(dòng)能定理得
  qE(x0+R)-mgR=

1

2

m

v

2 A

-0
因此vA=

14Rg

2

設(shè)小環(huán)在A點(diǎn)時(shí)所受半圓環(huán)軌道的作用力大小為N，由牛頓第二定律得
  N-qvAB-qE=m

v 2 A

R

解得  N=

17mg

4

+

qB 14Rg

2

（3）若f=μmg≥qE，即μ≥

3

4

．小環(huán)第一次到達(dá)P點(diǎn)右側(cè)s₁距離處?kù)o止，由動(dòng)能定理得
  qE（4R-s₁）-2mgR-fs₁=0                                       
而f=μmg，因此得  s1=

4R

4μ+3

設(shè)克服摩擦力所做的功為W，則  W=fs1=

4μmgR

4μ+3

若f=μmg≤qE，即μ＜

3

4

．環(huán)經(jīng)過來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最后只能在PD之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，設(shè)克服摩擦力所做的功為W，則
qE（4R）-mg（2R）-W=0                                    
解得W=mgR
答：（1）DM間距離x₀是

8R

3

．
（2）上述過程中小環(huán)第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)半圓環(huán)對(duì)小環(huán)作用力的大小是

17mg

4

+

qB 14Rg

2

；
（3）小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功為

4μmgR

4μ+3

或mgR．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用動(dòng)能定理解題需合適地選取研究的過程，根據(jù)動(dòng)能定理列出表達(dá)式求解．