Question

（2007?浙江）兩屏幕熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別去垂直于兩屏交線的直線為x和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示．在y＞0，0＜x＜a的區(qū)域有垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在y＞0，x＞a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．在O點(diǎn)出有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q＞0）的粒子沿x周經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮．入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．已知速度最大的粒子在0＜x＜a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在x＞a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2：5，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）．

Answer 1

分析：帶電粒子要使能打到y(tǒng)軸，則運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑應(yīng)小于或等于長度a．若運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑大于或等于長度a時(shí)，帶電粒子將打到x軸上，當(dāng)半徑剛好等于長度a時(shí)，粒子正好在左邊磁場(chǎng)里完成

1

4

個(gè)圓，再在右邊磁場(chǎng)里完成

3

4

個(gè)圓，然后打到x軸上，此時(shí)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角最大，即離入射點(diǎn)最近；當(dāng)運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角最小時(shí)，則離入射點(diǎn)最遠(yuǎn)．所以當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)剛好完成半個(gè)圓弧時(shí)，粒子打到最遠(yuǎn)處．

解答：解：對(duì)于y軸上的光屏亮線范圍的臨界條件如圖1所示：帶電粒子的軌跡和x=a相切，
此時(shí)r=a，y軸上的最高點(diǎn)為y=2r=2a；
對(duì)于 x軸上光屏亮線范圍的臨界條件如圖2所示：左邊界的極限情況還是和x=a相切，
此刻，帶電粒子在右邊的軌跡是個(gè)圓，由幾何知識(shí)得到在x軸上的坐標(biāo)為x=2a；
速度最大的粒子是如圖2中的實(shí)線，又兩段圓弧組成，圓心分別是c和c′由對(duì)稱性得到 c′在 x軸上，
設(shè)在左右兩部分磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t₁和t₂，
滿足

t1

t2

=

2

5

t1+t2=

7

12

T
解得t1=

1

6

T   t2=

5

12

T
由數(shù)學(xué)關(guān)系得到：

3

R=2a   OP=2a+R
代入數(shù)據(jù)得到：OP=2(1+

3

3

)a
所以在x 軸上的范圍是2a≤x≤2(1+

3

3

)a．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目解題步驟為：定圓心、畫軌跡、求半徑，同時(shí)還利用圓弧的對(duì)稱性來幫助解題．