Question

【題目】如圖，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直平面內(nèi)。質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，最低到達(dá)E點(diǎn)（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高點(diǎn)到達(dá)F點(diǎn)，AF=4R，已知P與直軌道間的動摩擦因數(shù)，重力加速度大小為g。（取）

（1）求P第一次運(yùn)動到B點(diǎn)時速度的大小。

（2）求P運(yùn)動到Ｅ點(diǎn)時彈簧的彈性勢能。

（3）改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過G點(diǎn)。G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距、豎直相距R，求P運(yùn)動到D點(diǎn)時速度的大小和改變后P的質(zhì)量。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】（1）根據(jù)題意知，B、C之間的距離l為l=7R–2R①

設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時的速度為vB，由動能定理得②

式中θ=37°，聯(lián)立①②式并由題給條件得③

（2）設(shè)BE=x。P到達(dá)E點(diǎn)時速度為零，設(shè)此時彈簧的彈性勢能為Ep。P由B點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)的過程中，由動能定理有④

E、F之間的距離l1為l1=4R–2R+x⑤

P到達(dá)E點(diǎn)后反彈，從E點(diǎn)運(yùn)動到F點(diǎn)的過程中，由動能定理有Ep–mgl1sin θ–μmgl1cos θ=0⑥

聯(lián)立③④⑤⑥式并由題給條件得x=R⑦

⑧

（3）設(shè)改變后P的質(zhì)量為m1。D點(diǎn)與G點(diǎn)的水平距離x1和豎直距離y1分別為⑨

⑩

式中，已應(yīng)用了過C點(diǎn)的圓軌道半徑與豎直方向夾角仍為θ的事實(shí)。

設(shè)P在D點(diǎn)的速度為vD，由D點(diǎn)運(yùn)動到G點(diǎn)的時間為t。由平拋運(yùn)動公式有

x1=vDt

聯(lián)立⑨⑩式得

設(shè)P在C點(diǎn)速度的大小為vC。在P由C運(yùn)動到D的過程中機(jī)械能守恒，有

P由E點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)的過程中，同理，由動能定理有

聯(lián)立⑦⑧式得