(12分)如圖所示,半徑分別為R和r (R>r)的甲乙兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內(nèi),兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連,在水平軌道CD上一輕彈簧a、b被兩小球夾住,同時(shí)釋放兩小球,a、b球恰好能通過(guò)各自的圓軌道的最高點(diǎn),求:
(1)兩小球的質(zhì)量比;
(2)若,要求a、b還都能通過(guò)各自的最高點(diǎn),彈簧釋放前至少具有多少?gòu)椥詣?shì)能。
解析:
(1)設(shè)釋放兩小球時(shí),a、b球的速度分別為,則對(duì)a、b球的彈簧組成的系統(tǒng),
由動(dòng)量守恒定律: ①(1分)
若a、b球恰好能通過(guò)各自的圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為、
則對(duì)a需滿足: ②(1分)
所以: ③
對(duì)b同理有: ④
機(jī)械能守恒定律:
對(duì)a: ⑤(1分)
對(duì)b: ⑥(1分)
聯(lián)立①③④⑤⑥得: ⑦(2分)
(2)若,由動(dòng)量守恒定律得: ⑧(2分)
當(dāng)a球恰好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí),b球也能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn),這時(shí)E彈最小。
由能量的轉(zhuǎn)化與守恒有:
⑨(2分)
由②⑤⑨得最小彈性勢(shì)能為:
(2分)
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