Question

（18 分）在圖中，半徑為的圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面指向紙外，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻變化，變化率(為一正值常量)，圓柱形區(qū)外空間沒有磁場(chǎng)，沿圖中弦的方向畫一直線，并向外延長(zhǎng)，弦與半徑的夾角。直線上有一任意點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，求從沿直線到該點(diǎn)的電動(dòng)勢(shì)的大小。

Answer 1

解析：

由于圓柱形區(qū)域內(nèi)存在變化磁場(chǎng)，在圓柱形區(qū)域內(nèi)外空間中將產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，電場(chǎng)線為圓，圓心在圓柱軸線上，圓面與軸線垂直，如圖中虛點(diǎn)線所示．在這樣的電場(chǎng)中，沿任意半徑方向移動(dòng)電荷時(shí)，由于電場(chǎng)力與移動(dòng)方向垂直，渦旋電場(chǎng)力做功為零，因此沿半徑方向任意一段路徑上的電動(dòng)勢(shì)均為零．

1．任意點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)：令為任意點(diǎn)（見圖），在圖中連直線與。取閉合回路，可得回路電動(dòng)勢(shì)，式中，，分別為從到、從到、從到的電動(dòng)勢(shì)。由前面的分析可知，，故

                                           （1）

令的面積為，此面積上磁通量，由電磁感應(yīng)定律，回路的電動(dòng)勢(shì)大小為

根據(jù)題給的條件有

                                           （2）

由圖可知

                                （3）

由（1）、（2）、（3）式可得沿線段的電動(dòng)勢(shì)大小為

                                            （4）

2．任意點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域外：令為任意點(diǎn)（見圖），。在圖中連、。取閉合回路，設(shè)回路中電動(dòng)勢(shì)為，根據(jù)類似上面的討論有

                                          （5）

對(duì)于回路，回路中磁通量等于回路所包圍的磁場(chǎng)區(qū)的面積的磁通量，此面積為，通過它的磁通量。根據(jù)電磁感應(yīng)定律可知回路中電動(dòng)勢(shì)的大小

                                           （6）

在圖中連，令，則，于是

當(dāng)時(shí)，，

中有

  

   

   

于是得

                           （7）

由（5）、（6）、（7）式可得沿線的電動(dòng)勢(shì)的大小為

                             （8）