Question

5．如圖所示有一固定在豎直平面內(nèi)的軌道ABCD，AB段為表面光滑傾角為θ=30°的直軌道，BCD部分為內(nèi)表面粗糙的半圓軌道，B為半圓軌的最低點(diǎn)，D為最高點(diǎn)，軌道半徑為R．現(xiàn)在直軌道上某一位置靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球沿ABCD軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為7mg，從D點(diǎn)飛出后又落在AB軌道上，其落點(diǎn)與半圓軌的圓心O等高，忽略空氣阻力，求：
（1）釋放小球的位置距離B點(diǎn)的豎直高度
（2）小球沿BCD軌道從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）在B點(diǎn)，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求小球通過(guò)B點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒定律求釋放小球的位置距離B點(diǎn)的豎直高度．
（2）小球離開(kāi)D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由分位移公式求出小球通過(guò)D點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
據(jù)題有 N=7mg
聯(lián)立解得 v_B=$\sqrt{6gR}$
對(duì)小球在直軌道上下滑的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 h=3R
（2）小球離開(kāi)D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=v_Dt
由幾何知識(shí)得 x=Rtan60°
聯(lián)立以上三式解得 v_D=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$
從B到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得
-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 W_f=$\frac{1}{4}$mgR
答：
（1）釋放小球的位置距離B點(diǎn)的豎直高度是3R．
（2）小球沿BCD軌道從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦力所做的功是$\frac{1}{4}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 該題的突破口是小球從圓軌道最高點(diǎn)D水平飛出，擊其落點(diǎn)與半圓軌的圓心O等高，運(yùn)用平拋規(guī)律和幾何關(guān)系求出D點(diǎn)的速度．要知道運(yùn)用動(dòng)能定理是求摩擦力做功常用的方法．研究向心力時(shí)，一定要分析受力，確定向心力的來(lái)源．