Question

如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平軌道AB光滑且絕緣，B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

3

2

L)．有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小球（可看成質(zhì)點(diǎn)）被固定在A點(diǎn)．已知在第一象限內(nèi)分布著互相垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)大小E2=

mg

q

，磁場(chǎng)為水平方向（在圖中垂直紙面向外），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；在第二象限內(nèi)分布著沿x軸正向的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E1=

B2qL

6m

．現(xiàn)將帶電小球由A點(diǎn)從靜止釋放，設(shè)小球所帶的電量不變．試求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大��；
（2）小球第一次落地點(diǎn)與O點(diǎn)之間的距離；
（3）小球從開始運(yùn)動(dòng)到第一次落地所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）A到B的過程中電場(chǎng)力做功，小球的動(dòng)能增大，根據(jù)動(dòng)能定理可以求出小球的速度；
（2）小球在第一象限受到的電場(chǎng)力：qE₂=mg，所以小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出小球運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系求出小球第一次落地點(diǎn)與O點(diǎn)之間的距離；
（3）小球從開始運(yùn)動(dòng)到第一次落地所經(jīng)歷的時(shí)間是勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的和．

解答：解：（1）小球從A到B的過程中，由動(dòng)能定理得

1

2

m

v

2 B

=qE1L
所以小球運(yùn)動(dòng)到B的速度vB=

2qE1L m

=

2qL m ? B2qL 6m

=

3 qBL

3m

（2）小球在第一象限受到的電場(chǎng)力：qE₂=mg，所以小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，
由m

vB2

R

=BqvB
得R=

mvB

qB

=

m

qB

?

3 BqL

3m

=

3

3

L
設(shè)圖中C點(diǎn)為小球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，它第一次的落地點(diǎn)為D點(diǎn)，則

.

CD

=R，

.

OC

=

.

OB

-R=

3

2

L-

3

3

L=

3

6

L
所以，落地點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為

.

OD

=

R2- . OC 2

=

( 3 3 L)2-( 3 6 L)2

=

L

2

（3）小球從A到B所需時(shí)間tAB=

vB

a

=

3 BqL 3m

q2B2L 6m

=

2 3 m

qB

小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=

2πm

qB

由幾何關(guān)系知∠BCD=120°，
小球從C到D所用的時(shí)間為tBD=

T

3

=

2πm

3qB

所以小球從開始運(yùn)動(dòng)到第一次落地所經(jīng)歷的時(shí)間為tAD=tAB+tBD=

2 3 m

qB

+

2πm

3qB

=(2

3

+

2π

3

)

m

qB

答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大小vB=

3 qBL

3m

；
（2）小球第一次落地點(diǎn)與O點(diǎn)之間的距離

L

2

；
（3）小球從開始運(yùn)動(dòng)到第一次落地所經(jīng)歷的時(shí)間tAD=(2

3

+

2π

3

)

m

qB

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查帶電小球在電場(chǎng)與復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，該類題目涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．在解題的過程中運(yùn)動(dòng)要理清小球運(yùn)動(dòng)的過程，及運(yùn)動(dòng)過程中的受力關(guān)系．