Question

宇宙飛船在受到星球的引力作用時，宇宙飛船的引力勢能大小的表達(dá)式為Ep=-

GMm

R

，式中R為此星球球心到飛船的距離，M為星球的質(zhì)量，m為宇宙飛船的質(zhì)量，G為萬有引力恒量．現(xiàn)有一質(zhì)量m=10⁴kg的宇宙飛船從地球表面飛到月球，則：
（1）寫出宇宙飛船在地球表面時的引力勢能表達(dá)式（不要計算出數(shù)值，地球質(zhì)量為M_地、月球質(zhì)量為M_月）．
（2）宇宙飛船在整個飛行過程中至少需做多少功？
（已知月球表面重力加速度為地球表面重力加速度的

1

6

，地球半徑R_地=6.4×10⁶m，月球半徑R_月=1.7×10⁶m，月球到地球距離R_地月=3.8×10⁸m（提示：R_地月＞＞R_地，R_地月＞＞R_月）．

Answer 1

（1）宇宙飛船在地球表面時的引力勢能：
E_p1=-

GM地m

R  地

-

GM月m

R地月-R  地

（2）宇宙飛船在月球表面時的引力勢能：
E_p2=-

GM月m

R  月

-

GM地m

R地月-R  月

所以需做功：
W=E_p2-E_p1=Gm（-

M月

R  月

-

M地

R地月-R  月

+

M地

R  地

+

M月

R地月-R  地

）          
由于R_地月＞＞R_地，R_地月＞＞R_月
W=Gm（-

M月

R  月

+

M地

R  地

+

M地-M月

R地月

）                        ①
由

GM地m

R 2地

=mg，②
同理可得GM_月=

1

6

g

R

2月

                                      ③
代入上式，得：
W=m（-

1

6

g

R

月

+g

R

地

-

gR 2地

R  地月

+

gR 2月

6R  地月

）                       
=5.89×10¹¹J                                               
答：（1）寫出宇宙飛船在地球表面時的引力勢能表達(dá)式是E_p1=-

GM地m

R  地

-

GM月m

R地月-R  地

．
（2）宇宙飛船在整個飛行過程中至少需做5.89×10¹¹J 功．