Question

（2013?開封一模）如圖所示K與虛線MN之間是加速電場．虛線MN與PQ之間是勻強電場，虛線PQ與熒光屏之間是勻強磁場，且MN、PQ與熒光屏三者互相平行．電場和磁場的方向如圖所示．圖中A點與O點的連線垂直于熒光屏．一帶正電的粒子由靜止被加速從A點離開加速電場，速度方向垂直于偏轉電場方向射入偏轉電場，在離開偏轉電場后進入勻強磁場，最后恰好垂直地打在圖中的熒光屏上．已知電場和磁場區(qū)域在豎直方向足夠長，加速電場電壓與偏轉電場的場強關系為U=

Ed

2

，式中的d是偏轉電場的寬度且為已知量，磁場的磁感應強度B與偏轉電場的電場強度E和帶電粒子離開加速電場的速度v₀關系符合表達式v₀=

E

B

，如圖所示，試求：
（1）畫出帶電粒子的運動軌跡示意圖，
（2）磁場的寬度L為多少？
（3）改變磁場的磁感應強度的大小，則熒光屏是出現(xiàn)的亮線長度是多少？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子經加速電場加速，進入偏轉電場做類平拋運動，然后進入磁場做勻速圓周運動，帶電粒子最終垂直地打在熒光屏上，說明帶電粒子在電場中偏轉的角度與在磁場中偏轉的角度大小相等，方向相反，作出軌跡如圖．
（2）用程序法研究：用動能定理求解粒子獲得的速度v₀，根據(jù)運動的分解求出偏轉電場中偏轉的角度，由牛頓定律求出磁場中軌跡半徑，幾何關系求出磁場的寬度．
（3）用極限法分析：當磁感應強度為零時，粒子打在D點．當磁感應強度增加到一定程度，使帶電粒子剛好和熒光屏相切時，為帶電粒子打到熒光屏上的最高點．由幾何知識求出亮線的長度．

解答：解：（1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中作圓周運動，帶電粒子最終垂直地打在熒光屏上，說明帶電粒子在電場中偏轉的角度與在磁場中偏轉的角度大小相等，方向相反，其軌跡如圖所示．
    （2）帶電粒子在加速電場中
     根據(jù)動能定理，得qU=

1

2

mv

2 0

     帶電粒子在偏轉電場中做類平拋運動，設偏轉角為θ
              則tanθ=

vy

v0

，vy=at，a=

qE

m

，t=

d

v0

    代入解得θ=45°則豎直速度與水平速度大小相等，帶電粒子離開偏轉電場速度為v=

2

v0
    設帶電粒子在磁場中偏轉的半徑為R
              則由qvB=m

v2

R

    得R=

mv

qB

=

m 2 v0

qE v0

=

2 mv 2 0

qE

      又U=

1

2

Ed
   代入解得R=

2

d
  帶電粒子在偏轉電場中的偏轉角與在磁場中的偏轉相等，才能垂直打在熒光屏上，由圖可知，磁場寬度L=Rsinθ=d                       
（3）當磁感應強度為零時，帶電粒子從C點射出時，沿直線打到熒光屏上D點，為帶電粒子打到熒光屏上的最低點．
     則OD=Ltan45°=L
     當磁感應強度增加到一定程度，使帶電粒子剛好和熒光屏相切時，為帶電粒子打到熒光屏上的最高點．
    L=R+Rcos450=(

2 +2

2

)R
   OF=Rsin450=(

2

-1)L 
則亮線長度FD=OF+OD=

2

L=

2

d
答：（1）帶電粒子的運動軌跡示意圖如圖．
    （2）磁場的寬度L為d．
    （3）改變磁場的磁感應強度的大小，熒光屏是出現(xiàn)的亮線長度是

2

d．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，粒子在電場做類平拋運動，運用運動的合成與分解方法處理，在磁場中做勻速圓周運動，關鍵是畫軌跡．