Question

一質(zhì)量m=2kg的小球從光滑斜面上高h=3.5m處由靜止滑下，斜面底端緊接著一個半徑R=1m的光滑圓環(huán)，如圖所示，試求：（g=10m/s²）
（1）小球滑至圓環(huán)頂點時對環(huán)的壓力；
（2）小球至少應(yīng)從多高處由靜止滑下才能越過圓環(huán)最高點；
（3）小球從h'=2m處由靜止滑下時，脫離圓環(huán)的位置和圓心的連線與豎直方向夾角的余弦．

Answer 1

（1）設(shè)小球滑至環(huán)頂時的速度為υ₁，所受環(huán)的壓力為N．
小球運動過程中機械能守恒：mg(h-2R)=

1

2

m

υ

21

①
在頂點由圓周運動的知識有：mg+N=m

υ 21

R

②
聯(lián)立①②解得：N=mg(

2h

R

-5)（
代入數(shù)值解得：N =2×10(

2×3.5

1

-5)N=40N
由牛頓第三定律知小球?qū)Νh(huán)的壓力大小為：N'=N=40N
（2）當(dāng)圓環(huán)對小球的壓力為零時，僅由重力充當(dāng)向心力，對應(yīng)的速度υ₂為越過圓環(huán)最高點的最小速度，對應(yīng)的高度h₁為最低高度，由機械能守恒定律及圓周運動知識有：mg(h1-2R)=

1

2

m

υ

22

③
mg=m

υ 22

R

④
聯(lián)立③④解得：h1=

5

2

R=2.5m
（3）由于h'＜h₁，故球在還沒有到達頂端前即與環(huán)脫離，設(shè)脫離圓環(huán)時的位置半徑與豎直方向的夾角為α，選軌道最低點為零勢點，由機械能守恒定律及圓周運動知識有：mgh′=

1

2

mυ2+mgR(1+cosα)⑤
mgcosα=m

υ2

R

⑥
聯(lián)立⑤⑥解得：cosα=

2(h′-R)

3R

=

2

3

答：（1）小球滑至圓環(huán)頂點時對環(huán)的壓力為40N．
（2）小球至少應(yīng)從2.5m高處由靜止滑下才能越過圓環(huán)最高點．
（3）小球從h'=2m處由靜止滑下時，脫離圓環(huán)的位置和圓心的連線與豎直方向夾角的余弦為

2

3

．