Question

6．在高能物理研究中，粒子加速器起著重要作用，而早期的加速器只能使帶電粒子在高壓電場(chǎng)中加速一次，因而粒子所能達(dá)到的能量受到高壓技術(shù)的限制．1930年，Earnest O．Lawrence提出了回旋加速器的理論，他設(shè)想用磁場(chǎng)使帶電粒子沿圓弧形軌道旋轉(zhuǎn)，多次反復(fù)地通過(guò)高頻加速電場(chǎng)，直至達(dá)到高能量．圖甲為Earnest O．Lawrence設(shè)計(jì)的回旋加速器的示意圖．它由兩個(gè)鋁制D型金屬扁盒組成，兩個(gè)D形盒正中間開(kāi)有一條狹縫；兩個(gè)D型盒處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中并接有高頻交變電壓．圖乙為俯視圖，在D型盒上半面中心S處有一正離子源，它發(fā)出的正離子，經(jīng)狹縫電壓加速后，進(jìn)入D型盒中．在磁場(chǎng)力的作用下運(yùn)動(dòng)半周，再經(jīng)狹縫電壓加速；為保證粒子每次經(jīng)過(guò)狹縫都被加速，應(yīng)設(shè)法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期一致．如此周而復(fù)始，最后到達(dá)D型盒的邊緣，獲得最大速度后被束流提取裝置提取出．已知正離子的電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時(shí)電極間電壓大小恒為U，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D型盒的半徑為R，狹縫之間的距離為d．設(shè)正離子從離子源出發(fā)時(shí)的初速度為零．
（1）試計(jì)算上述正離子從離子源出發(fā)被第一次加速后進(jìn)入下半盒中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）盡管粒子在狹縫中每次加速的時(shí)間很短但也不可忽略．試計(jì)算上述正離子在某次加速過(guò)程當(dāng)中從離開(kāi)離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）不考慮相對(duì)論效應(yīng)，試分析要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動(dòng)能可采用的措施．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子被第一次加速后的速度，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，利用牛頓第二定律求出軌道的半徑．
（2）回旋加速器是利用電場(chǎng)加速和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)來(lái)加速粒子，根據(jù)動(dòng)能定理求出n次加速后的速度，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式求出加速的時(shí)間，再求出粒子偏轉(zhuǎn)的次數(shù)，從而得出在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的時(shí)間，兩個(gè)時(shí)間之和即為離開(kāi)離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間．
（3）根據(jù)回旋加速器的半徑，利用洛倫茲力提供向心力，求出最大速度，看最大速度有什么因素決定．

解答 解：（1）設(shè)正離子經(jīng)過(guò)窄縫被第一次加速加速后的速度為v₁，由動(dòng)能定理得$qU=\frac{1}{2}mv_1^2$
正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r₁，由牛頓第二定律得$Bq{v_1}=m\frac{{{v_1}^2}}{r_1}$
由以上兩式解得${r_1}=\sqrt{\frac{2mU}{{q{B^2}}}}$
（2）設(shè)正離子經(jīng)過(guò)窄縫被第n次加速加速后的速度為v_n，由動(dòng)能定理得$nqU=\frac{1}{2}mv_n^2$
粒子在狹縫中經(jīng)n次加速的總時(shí)間${t_1}=\frac{v_n}{a}$
由牛頓第二定律得：$q\frac{U}ycnuiwo=ma$
由以上三式解得電場(chǎng)對(duì)粒子加速的時(shí)間 ${t_1}=d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}$
正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律$Bqv=m\frac{v^2}{r}$
又 $T=\frac{2πr}{v}$
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 ${t_2}=（n-1）\frac{T}{2}$
由以上三式解得${t_2}=\frac{（n-1）πm}{qB}$
所以，粒子從離開(kāi)離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間$t=t_1^{\;}+{t_2}$=$d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}$+$\frac{（n-1）πm}{qB}$
（3）設(shè)離子從D盒邊緣離開(kāi)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r_m，速度為v_mr_m=R$Bq{v_m}=m\frac{{{v_m}^2}}{r_m}$
離子獲得的最大動(dòng)能為   $E=\frac{1}{2}mv_m^2=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$
所以，要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動(dòng)能可以增大加速器中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
答：（1）上述正離子從離子源出發(fā)被第一次加速后進(jìn)入下半盒中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$；
（2）上述正離子在某次加速過(guò)程當(dāng)中從離開(kāi)離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為$d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}+\frac{（n-1）πm}{qB}$；
（3）要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動(dòng)能可以增大加速器中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道回旋加強(qiáng)器的工作原理，利用磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，電場(chǎng)加速．以及知道回旋加強(qiáng)器加速粒子的最大動(dòng)能與什么因素有關(guān)．