Question

如圖，固定的光滑四分之一圓弧軌道AB的半徑為5m，A點(diǎn)與圓心O在同一水平線(xiàn)上，圓弧軌道底端B點(diǎn)與圓心在同一豎直線(xiàn)上．質(zhì)量為2Kg物塊從軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，滑過(guò)B點(diǎn)后進(jìn)入長(zhǎng)度為L(zhǎng)=8m的水平傳送帶，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=1.8m，不計(jì)物塊通過(guò)軌道與傳送帶交接處的動(dòng)能損失，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.6，皮帶輪與皮帶之間始終不打滑． g取10m/s²．討論下列問(wèn)題：（設(shè)滑塊過(guò)C點(diǎn)則直接水平飛出）
（1）求物塊從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)時(shí)速度的大小和對(duì)軌道底端的壓力．．
（2）若傳送帶靜止，判斷滑塊能否滑到C端？若能，則滑塊落地點(diǎn)距C端的水平距離為多少？
（3）設(shè)皮帶輪順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，則滑塊落地點(diǎn)距C端的水平距離又是多少？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)機(jī)械能守恒求出物塊從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)時(shí)速度的大��；在B點(diǎn)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解軌道對(duì)物塊的支持力，由牛頓第三定律得到對(duì)軌道底端的壓力．
（2）若傳送帶靜止，滑塊在傳送帶上做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理或牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合求出物塊滑到C點(diǎn)的速度，即可判斷能否滑到C端．若能，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解滑塊落地點(diǎn)距C端的水平距離．
（3）皮帶輪順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，皮帶速度為 v₁=ω₁R，與物塊到B點(diǎn)時(shí)的速度進(jìn)行比較，判斷物塊的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊滑到C端的速度，再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解滑塊落地點(diǎn)距C端的水平距離．

解答：解：（1）從A到B，由機(jī)械能守恒定律得：
   mgr=

1

2

m

v

2 B

則得，v_B=

2gr

=

2×10×5

m/s=10m/s
在B點(diǎn)，物塊由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律
  F_N-mg=m

v 2 B

r

   
解得，F(xiàn)_N=3mg=3×2×10N=60N     
根據(jù)牛頓第三定律得到對(duì)軌道底端的壓力大小F_N′=F_N=60N，方向豎直向下．
（2）若傳送帶靜止，滑塊在傳送帶上做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度為v．
從B到C過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgL=

1

2

m

v

2

-

1

2

m

v

2 B

得，v=

v 2 B -2μgL

=

102-2×0.6×10×8

m/s=2m/s
滑塊離開(kāi)傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
  h=

1

2

gt2，x=vt
所以落地點(diǎn)距C端的水平距離為：x=v

2h g

=2×

2×1.8 10

m=1.2m
（3）當(dāng)ω₁=40 rad/s時(shí)，皮帶速度為 v₁=ω₁R=40×0.2=8m/s
當(dāng)滑塊的速度減為v₁=8m/s時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的位移為x′，則根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgx′=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 B

得，x′=

v 2 B - v 2 1

2μg

=

102-82

2×0.6×10

m=3m＜L
所以滑塊最后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所以滑塊到達(dá)C端的速度也為v₁=8m/s
滑塊落地點(diǎn)距B端的水平距離為：
  x₁=v₁

2h g

=8×

2×1.8 10

m=4.8m
答：（1）求物塊從A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)時(shí)速度的大小是10m/s，對(duì)軌道底端的壓力大小為60N，方向豎直向下．
（2）若傳送帶靜止，滑塊能滑到C端，滑塊落地點(diǎn)距C端的水平距離為1.2m．
（3）設(shè)皮帶輪順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，則滑塊落地點(diǎn)距C端的水平距離又是4.8m．

點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于對(duì)過(guò)程的分析，要弄清楚物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，特別是第3小題物塊先加速再勻速過(guò)程．