Question

12．同學(xué)們參照伽利略時(shí)期演示平拋運(yùn)動(dòng)的方法制作了如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置．圖中水平放置的底板上豎直地固定有M板和N板．M板上部有一半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧形的粗糙軌道，P為最高點(diǎn)，Q為最低點(diǎn)，Q點(diǎn)處的切線水平，距底板高為H．N板上固定有三個(gè)圓環(huán)．將質(zhì)量為m的小球從P處?kù)o止釋放，小球運(yùn)動(dòng)至Q飛出后無(wú)阻礙地通過(guò)各圓環(huán)中心，落到底板上距Q水平距離為L(zhǎng)處．不考慮空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）距Q水平距離為$\frac{L}{2}$的圓環(huán)中心到底板的高度；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度的大小以及對(duì)軌道壓力的大小和方向；
（3）摩擦力對(duì)小球做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)分解即可求出；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，即可求出小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度的大��；在Q點(diǎn)小球受到的支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出小球受到的支持力的大��；最后有牛頓第三定律說(shuō)明對(duì)軌道壓力的大小和方向；
（3）小球從P到Q的過(guò)程中，重力與摩擦力做功，由功能關(guān)系即可求出摩擦力對(duì)小球做的功．

解答 解：（1）小球從Q拋出后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$①
水平位移：L=v_Q•t  ②
小球運(yùn)動(dòng)到距Q水平距離為$\frac{L}{2}$的位置時(shí)的時(shí)間：$t′=\frac{\frac{1}{2}L}{{v}_{Q}}=\frac{1}{2}t$  ③
此過(guò)程中小球下降的高度：h=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$   ④
聯(lián)立以上公式可得：h=$\frac{1}{4}H$
圓環(huán)中心到底板的高度為：H-$\frac{1}{4}H$=$\frac{3}{4}H$；
（2）由①②得小球到達(dá)Q點(diǎn)的速度：${v}_{Q}=\frac{L}{t}=L\sqrt{\frac{g}{2H}}$  ⑤
在Q點(diǎn)小球受到的支持力與重力的合力提供向心力，得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{Q}^{2}}{R}$  ⑥
聯(lián)立⑤⑥得：${F}_{N}=mg（1+\frac{{L}^{2}}{2HR}）$
由牛頓第三定律可得，小球?qū)�軌道的壓力的大�。簃g（1+$\frac{L^2}{2HR}$） 方向：豎直向下
（3）小球從P到Q的過(guò)程中，重力與摩擦力做功，由功能關(guān)系得：mgR+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$  ⑦
聯(lián)立⑥⑦得：W_f=mg（$\frac{{L}^{2}}{4H}-R$）
答：（1）到底板的高度：$\frac{3}{4}H$；
（2）小球的速度的大�。�$L\sqrt{\frac{g}{2H}}$小球?qū)�軌道的壓力的大�。簃g（1+$\frac{L^2}{2HR}$） 方向：豎直向下；
（3）摩擦力對(duì)小球做的功：mg（$\frac{{L}^{2}}{4H}-R$）．

點(diǎn)評(píng) 該題是平拋運(yùn)動(dòng)、功能關(guān)系以及圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題，該題中要熟練掌握機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題．