Question

如圖所示，水平地面上方有一絕緣彈性豎直薄檔板，板高h(yuǎn)=3m，與板等高處有一水平放置的小籃筐，筐口中心距擋板s=1m．圖示空間同時(shí)存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，而勻強(qiáng)電場(chǎng)未在圖中畫出．質(zhì)量m=1×10^-3kg、電量q=-2×10^-3C的帶電小球a（視為質(zhì)點(diǎn)），自擋板下端以某一水平速度v₀開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，與質(zhì)量相等，靜止不帶電小球b（視為質(zhì)點(diǎn)）發(fā)生彈性碰撞．b球向左側(cè)運(yùn)動(dòng)恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若b球與檔板相碰后以原速率彈回，且碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞時(shí)電量不變，b小球最后都能從筐口的中心處落入筐中．（g取10m/s²，可能會(huì)用到三角函數(shù)值sin37°=0.6，cos37°=0.8）．試求：
（1）碰撞后兩小球速度大小
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的可能最大速率；
（4）b小球運(yùn)動(dòng)的可能最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

（1）兩個(gè)小球彈性碰撞過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，有：
m_av₀=m_av₁+m_bv₂

1

2

ma

v

20

=

1

2

ma

v

21

+

1

2

mb

v

22

解得：v₁=0，v₂=v₀
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：
qE=mg
故有：E=

mg

q

=10N/C
電場(chǎng)方向豎直向下
（2）若小球速率最大，則運(yùn)動(dòng)半徑最大，如軌跡①所示：

R

21

=s²+（h-R₁）²
可得：R₁=

5

3

m
由qv₁B=m

v 21

R1

解得：v₁=

qBR1

m

=

5

3

m/s
（3）因?yàn)樗俣确较蚺c半徑垂直，圓心必在擋板所在的豎直線上．

且R≥s=1m
小球與擋板碰撞n次后落入筐中，則有
2nR＜h
?n＜1.5，故n可取0或1才能
保證小球落入筐中
①當(dāng)n=0時(shí)，即為（2）問(wèn)中的解
②當(dāng)n=1時(shí)，有
（3R-h）²+s²=R²
可得R₂=1m，運(yùn)動(dòng)軌跡如由圖中②所示
或者R₃=

5

4

m，運(yùn)動(dòng)軌跡如由圖中③所示
以軌跡③運(yùn)動(dòng)，小球所花時(shí)間最長(zhǎng)，則有：
T=

2πm

qB

=2π
sinθ=

R2

R3

=

4

5

故θ=53°，軌跡③運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角α=360°+（180°-53°）=487°
運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為：
t=

α

360°

T=

974°

360°

π≈8.5s
答：（1）碰撞后a球速度大小為零，b球速度大小為v₀；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E=10N/C，電場(chǎng)方向豎直向下；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的可能最大速率為

5

3

m/s；
（4）小球運(yùn)動(dòng)的可能最長(zhǎng)時(shí)間為8.5s．