Question

5．如圖1所示，在某星球表面輕繩約束下的質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球在最低點與最高點所受輕繩的拉力之差為△F，假設(shè)星球是均勻球體，其半徑為R，已知萬有引力常量為G．不計一切阻力．
（1）求星球表面重力加速度；
（2）求該星球的密度；
（3）如圖2所示．在該星球表面上，某小球以大小為v₀的初速度平拋，恰好能擊中傾角為θ的斜面，且位移最短．試求該小球平拋的時間．

Answer 1

分析 （1）在最高點，重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；最低點，拉力和重力的合力提供向心力，再次根據(jù)牛頓第二定律列式；再根據(jù)動能定理列式；最后聯(lián)立求解即可；
（2）在星球表面，重力等于萬有引力，根據(jù)萬有引力定律列式求解；
（3）位移最短，說明位移方向與斜面垂直，根據(jù)平拋運動的規(guī)律列式求解．

解答 解：（1）在最高點，重力和拉力的合力提供向心力，故：${F}_{1}+mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
再最低點，重力和拉力的合力提供向心力，故：${F}_{2}-mg=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
根據(jù)動能定理，有：$mg（2R）=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立解得：F₂-F₁=6mg
根據(jù)題意，有：小球在最低點與最高點所受輕繩的拉力之差為△F，故：g=$\frac{△F}{6m}$
（2）在星球表面，重力等于萬有引力，故：
m′g=G$\frac{m′M}{{R}^{2}}$
$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$ 
聯(lián)立解得：
ρ=$\frac{△F}{8πmR}$
（3）位移最短，說明位移方向與斜面垂直，故位移偏轉(zhuǎn)角為（$\frac{π}{2}$-θ），故：
tan（$\frac{π}{2}$-θ）=$\frac{y}{x}$
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₀t
聯(lián)立解得：
t=$\frac{{12m{v_0}}}{△Ftanθ}$
答：（1）星球表面重力加速度為$\frac{△F}{6m}$；
（2）該星球的密度為$\frac{△F}{8πmR}$；
（3）該小球平拋的時間為$\frac{{12m{v_0}}}{△Ftanθ}$．

點評 本題是豎直平面內(nèi)的圓周運動問題、平拋運動問題、萬有引力定律問題的綜合，涉及規(guī)律多，關(guān)鍵是區(qū)分各個運動模型的動力學(xué)規(guī)律．