Question

（12分）磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具，它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸從而減小阻力。另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，即利用磁場與固定在車體下部的感應(yīng)金屬框相互作用，使車體獲得牽引力，圖22是實(shí)驗(yàn)列車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的原理示意圖。在水平面上有兩根很長的平行軌道PQ和MN，軌道間有垂直軌道平面的勻強(qiáng)磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B。在列車的底部固定著繞有N匝相同的閉合矩形金屬線圈，并且與之絕緣。整個(gè)線圈的總電阻為R，每個(gè)矩形金屬線圈abcd垂直軌道的邊長L_ab=L，且兩磁場的寬度均與金屬線圈ad的邊長相同（列車的車廂在圖中未畫出）。當(dāng)兩磁場B_l和B₂同時(shí)沿導(dǎo)軌方向向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框也會(huì)受到向右的磁場力，帶動(dòng)列車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。已知列車車廂及線圈的總質(zhì)量為M，整個(gè)線圈的電阻為R。

（1）假設(shè)用兩磁場同時(shí)水平向右以速度v₀作勻速運(yùn)動(dòng)來起動(dòng)列車，為使列車能隨磁場運(yùn)動(dòng)，列車所受總的阻力大小應(yīng)滿足的條件；

（2）設(shè)列車所受阻力大小恒為f，假如使列車水平向右以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，求維持列車運(yùn)動(dòng)外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量；

（3）設(shè)列車所受阻力大小恒為f，假如用兩磁場由靜止沿水平向右做勻加速運(yùn)動(dòng)來起動(dòng)列車，當(dāng)兩磁場運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁時(shí)，列車也正在以速度v₁向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求兩磁場開始運(yùn)動(dòng)后到列車開始起動(dòng)所需要的時(shí)間t₀。

Answer 1

（12分）

解：（1）列車靜止時(shí)，電流最大，列車受到的電磁驅(qū)動(dòng)力最大設(shè)為F_m，此時(shí)，線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢                     E₁=2NBLv₀

線框中的電流                       I₁=

整個(gè)線框受到的安培力             F_m=2NBI₁L

列車所受阻力大小為                         (4分)

（2）當(dāng)列車以速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩磁場水平向右運(yùn)動(dòng)的速度為v′，金屬框中感應(yīng)電動(dòng)勢

 

金屬框中感應(yīng)電流

 

又因?yàn)?nbsp;            

求得                                      (2分)

當(dāng)列車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框中的熱功率為   P₁ = I²R

克服阻力的功率為     P₂ = fv

所以可求得外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量為

E= I²R +fv=                  (2分)

（3）根據(jù)題意分析可得，為實(shí)現(xiàn)列車最終沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度相同，設(shè)加速度為a，則t₁時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢                       

金屬框中感應(yīng)電流               

又因?yàn)榘才嗔?nbsp;              

所以對列車，由牛頓第二定律得   

解得                                      (2分)

設(shè)從磁場運(yùn)動(dòng)到列車起動(dòng)需要時(shí)間為t₀，則t₀時(shí)刻金屬線圈中的電動(dòng)勢    

金屬框中感應(yīng)電流              

又因?yàn)榘才嗔?nbsp;           

所以對列車，由牛頓第二定律得    

解得             (2分)