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6.如圖所示,光滑斜軌和光滑圓軌相連,固定在同一豎直面內(nèi),圓軌的半徑為R,一個小球(可視為質(zhì)點),從離水平面高h處由靜止自由下滑,由斜軌進入圓軌,求:
(1)為了使小球在圓軌內(nèi)運動的過程中始終不脫離圓軌,h應(yīng)至少多高?
(2)若小球到達圓規(guī)最高點時圓軌對小球的壓力大小恰好等于它自身重力大小,那么小球開始下滑時的h是多大?
(3)若該軌道改為環(huán)形管道,為了使小球在軌道內(nèi)完成完整的圓周運動,h應(yīng)至少多高?

分析 (1)由豎直平面內(nèi)的圓周運動的臨界條件可求得最高點的速度;再由動能定理可求得h的高度;
(2)最高點處對小球受力分析,由向心力公式可求得小球的速度;再由動能定理即可求得高度.
(3)軌道改為環(huán)形管道時,小球在圓管的最高點速度可以為零,利用機械能守恒分析即可.

解答 解:(1)小球剛好不脫離圓軌,在最高點重力恰好通過向心力,由牛頓第二定律得:mg=mv2R
小球由斜軌至圓軌最高點過程,由動能定理得:mg(h-2R)=12mv2
聯(lián)立①②解得:h=52R
h52R時小球在圓軌內(nèi)運動的過程中始終不脫離圓軌,高度至少為52R
(2)在最高點對小球由牛頓第二定律得:FN+mg=mv2R
又有:FN=mg④
小球由斜軌至圓軌最高點過程,由動能定理得:mg(h-2R)=12mv2
聯(lián)立③④⑤解得:h=3R;
(3)在環(huán)形管道的內(nèi)部,小球在最高點的速度可以為零,根據(jù)機械能守恒可得,mgh=mg2R,所以h=2R,
h應(yīng)至少高為2R.
答:(1)h應(yīng)至少為2.5R;(2)球開始下滑時的h是3R;(3)h應(yīng)至少高為2R.

點評 本題考查動能定理及向心力公式的應(yīng)用,要注意明確豎直平面內(nèi)做圓周運動時,恰好經(jīng)過最高點時重力恰好全部充當向心力.

練習冊系列答案
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