Question

如圖所示，x軸上方有一勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向里、大小為B，x軸下方有一勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小為E，方向與y軸的夾角θ=45°且斜向上方．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場，該離子在磁場中運(yùn)動一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，該離子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸夾角為
45°．不計(jì)離子的重力，設(shè)磁場區(qū)域和電場區(qū)域足夠大．
求：
（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動時(shí)間．

Answer 1

分析：帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)，至第一次到x軸為第一過程，在這個(gè)過程中，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由“畫軌跡、找圓心、求半徑”的思路求解第（1）問，同時(shí)還可以求出這一過程的時(shí)間．（要盡力把圖做準(zhǔn)確）
帶電粒子逆著電場力方向進(jìn)入電場，在電場中做類似豎直上拋運(yùn)動，這是第二過程．同牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式，可以求這個(gè)過程的時(shí)間．
帶電粒子沒與x軸負(fù)向夾角為45°的方向進(jìn)入磁場，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，此為第三過程．再一次由由“畫軌跡、找圓心、求半徑”的思路過求得這一過程的時(shí)間．

解答：解：
（1）磁場中帶電粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動，故有：qvB=m

v 2 0

r

同時(shí)有T=

2πr

v0

=

2πm

qB

粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，由幾何知識知，
xc=-(r+rcos45°)=-

(2+ 2 )mv0

2qB

故，C點(diǎn)坐標(biāo)為(-

(2+ 2 )mv0

2qB

，0)．
（2）設(shè)粒子從A到C的時(shí)間為t₁，由題意知：
t1=

5

8

T=

5πm

4qB

設(shè)粒子從進(jìn)入電場到返回C的時(shí)間為t₂，其在電場中做勻變速運(yùn)動，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)知識，有：
qE=ma
2v₀=at₂
聯(lián)立以上解得：
t2=

2mv0

qE

設(shè)粒子再次進(jìn)入磁場后在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t₃，由題意得：
t3=

1

4

T=

πm

2qB

故而，設(shè)粒子從A點(diǎn)到第三次穿越x軸的時(shí)間為：
t=t1+t2+t3=

7πm

4qB

+

2mv0

qE

 答：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

(2+ 2 )mv0

2qB

，0)．
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動時(shí)間為

7πm

4qB

+

2mv0

qE

．

點(diǎn)評：該題是一道綜合性較強(qiáng)的題，解決此類問題的方法及關(guān)鍵：
（1）．尋找突破口（程序法：順藤摸瓜，逆向思維法：反其道而行之．）
（2）．畫好軌跡圖（在畫圖的基礎(chǔ)上特別注意運(yùn)用幾何知識尋找關(guān)系．）
（3）．巧選力學(xué)規(guī)律（力和運(yùn)動的關(guān)系：根據(jù)帶電粒子所受的力，運(yùn)用牛頓第二定律并結(jié)合運(yùn)動學(xué)規(guī)律求解．功能關(guān)系：根據(jù)場力及其它外力對帶電粒子做功引起的能量變化或全過程中的功能關(guān)系，從而可確定帶電粒子的運(yùn)動情況，這條線索不但適用于均勻場，也適用于非均勻場．因此要熟悉各種力做功的特點(diǎn)．解決這類題時(shí)一定要注意臨界條件的挖掘：如“恰好”、“最大”、“最多”、“至少”…等關(guān)鍵詞，往往是解題的突破口．）