Question

在某平面上有一半徑為R的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)外均有垂直于該平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓外磁場(chǎng)范圍足夠大，已知兩部分磁場(chǎng)方向相反且磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B，方向如圖所示．現(xiàn)在圓形區(qū)域的邊界上的A點(diǎn)有一個(gè)電量為q，質(zhì)量為m的帶電粒子以沿半徑且垂直于磁場(chǎng)方向向圓外的速度經(jīng)過(guò)該圓形邊界，已知該粒子只受到磁場(chǎng)對(duì)它的作用力．
（1）若粒子在其與圓心O連線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)恰好能回到A點(diǎn)，試求該粒子運(yùn)動(dòng)速度V的可能值．
（2）在粒子恰能回到A點(diǎn)的情況下，求該粒子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）離子進(jìn)入磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道半徑r；
（2）畫出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，即可求出離子的運(yùn)動(dòng)速度v；
（3）粒子穿越圓形邊界的次數(shù)越少，所需時(shí)間就越短，根據(jù)上題中結(jié)論，求出粒子在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角，即可求出離子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間t．

解答：解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r
BqV=m

V2

r

r=

mV

Bq

…①
如圖，O₁為粒子運(yùn)動(dòng)的第一段圓弧AB的圓心，
O₂為粒子運(yùn)動(dòng)的第二段圓弧BC的圓心，
根據(jù)幾何關(guān)系可知
tanθ=

r

R

…②
∠AOB=∠BOC=2θ
如果粒子回到A點(diǎn)，則必有
n˙2θ=2π，n取正整數(shù)…③
由①②③可得
V=

BqR

m

tan

π

n

考慮到θ為銳角，即0＜θ＜

π

2

，根據(jù)③可得．
n≥3 
故V=

BqR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）     
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期
T=

2πm

Bq

因?yàn)榱Ｗ用看卧趫A形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間互補(bǔ)為一個(gè)周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數(shù)越少，所花時(shí)間就越短，因此取n=3
代入到③可得：θ=

π

3

而粒子在圓形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為α
α=2π-2（

π

2

-θ）=

5

3

π
故所求的粒子回到A點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間
t=T+

α

2π

T=

11πm

3Bq

答：（1）若粒子在其與圓心O連線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)恰好能回到A點(diǎn)，試求該粒子運(yùn)動(dòng)速度V的可能值V=

BqR

m

tan

π

n

，（n=3，4，5…）．
（2）在粒子恰能回到A點(diǎn)的情況下，求該粒子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間為

11πm

3Bq

．

點(diǎn)評(píng)：本題中離子做周期性的運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求解軌道半徑是解題的關(guān)鍵．