Question

如圖甲所示，“目”字形軌道的每一短邊的長(zhǎng)度都等于a，只有四根平行的短邊有電阻，阻值都是r，不計(jì)其它各邊電阻．使導(dǎo)軌平面與水平面成夾角θ固定放置，如圖乙所示．一根質(zhì)量為m的條形磁鐵，其橫截面是邊長(zhǎng)為a的正方形，磁鐵與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，磁鐵與導(dǎo)軌間絕緣．假定導(dǎo)軌區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)全部集中在磁鐵的端面，并可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直導(dǎo)軌平面．開(kāi)始時(shí)磁鐵端面恰好與正方形3重合，現(xiàn)使其以某一初速度下滑，磁鐵恰能勻速滑過(guò)正方形2，直至磁鐵端面恰好與正方形1重合．已知重力加速度為g．求：

（1）上述過(guò)程中磁鐵運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）上述過(guò)程中所有電阻消耗的電能．

Answer 1

分析：（1）磁鐵勻速進(jìn)入正方形2過(guò)程，線框2產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，畫(huà)出等效電路圖，由法拉第定律、歐姆定律、安培力公式求出切割磁感線的短邊受到的安培力，由牛頓第三定律得到磁鐵所受的安培力．由于磁鐵勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件列式，求出磁鐵勻速運(yùn)動(dòng)的速度，即可由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出時(shí)間．
（2）根據(jù)能量守恒求所有電阻消耗的電能．

解答：解：（1）設(shè)磁鐵勻速進(jìn)入正方形2的速度為v，等效電路如圖所示．
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)   E=Bav
總電阻     R=r+

r

3

=

4

3

r
感應(yīng)電流    I=

E

R

=

3Bav

4r

切割磁感線的短邊受到的安培力 F=BIa=

3B2a2v

4r

短邊受到的安培力與磁鐵受到的力是作用力與反作用力
根據(jù)平衡條件    mgsinθ=F+f             
滑動(dòng)摩擦力      f=μ mgcosθ              
解得：v=

4mgr(sinθ-μcosθ)

3B2a2

當(dāng)磁鐵進(jìn)入正方形1時(shí)，仍以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
整個(gè)過(guò)程磁鐵運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間 t=

2a

v

解得：t=

3B2a3

2mgr(sinθ-μcosθ)

（2）根據(jù)能量守恒定律   mg?2asinθ=μ mg cosθ?2a+E   
解得：E=2mga（sinθ-μ cosθ）         
答：
（1）上述過(guò)程中磁鐵運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為

3B2a3

2mgr(sinθ-μcosθ)

；
（2）上述過(guò)程中所有電阻消耗的電能為2mga（sinθ-μ cosθ）．

點(diǎn)評(píng)：本題打破常規(guī)，是磁鐵運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體不動(dòng)，仍然運(yùn)用電磁感應(yīng)的基本規(guī)律：法拉第定律、歐姆定律、安培力公式，結(jié)合平衡條件和能量守恒進(jìn)行求解．