Question

如下圖所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置、斜坡長(zhǎng)為L(zhǎng)=20 m，高為h=2 m，斜坡上緊排著一排滾筒。長(zhǎng)為l=8 m、質(zhì)量為m=1×10³ kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，工作時(shí)由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)所有滾筒順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使鋼錠沿斜坡向上移動(dòng)，滾筒邊緣的線速度均為v=4 m/s。假設(shè)關(guān)閉電動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)所有滾筒立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，鋼錠對(duì)滾筒的總壓力近似等于鋼錠的重力。取當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度g=10 m/s²。試求：

（1）鋼錠從坡底（如下圖示位置）由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時(shí)間。

（2）鋼錠從坡底（如下圖示位置）由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^(guò)程中電動(dòng)機(jī)至少要工作多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

解：（1）鋼錠開(kāi)始受到的滑動(dòng)摩擦力為f₁=μmg=3×10³ N

由牛頓第二定律有f₁-mgsinα=ma₁

解得a₁=2 m/s²

鋼錠做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁==2 s

位移s₁=a₁t₁²=4 m

要使b端到達(dá)坡頂所需要的時(shí)間最短，需要電動(dòng)機(jī)一直工作，鋼錠先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

鋼錠做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移s₂=L-l-s₁=8 m

做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂==2 s

所需最短時(shí)間t=t₁+t₂=4 s。

（2）要使電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間最短，鋼錠的最后一段運(yùn)動(dòng)要關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，鋼錠勻減速上升，b端到達(dá)坡頂時(shí)速度剛好為零。

勻減速上升時(shí)f₁+mgsinα=ma₂

解得a₂=4 m/s²

勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃==1 s

勻減速運(yùn)動(dòng)位移s₃=t₃=2 m

勻速運(yùn)動(dòng)的位移s₄=L-l-s₁-s₃=6 m

電動(dòng)機(jī)至少要工作的時(shí)間t=t₁+=3.5 s。