Question

4．空間交會(huì)對接是指兩個(gè)航天器在空間軌道上會(huì)合并在結(jié)構(gòu)上連成一個(gè)整體的技術(shù)，我國已在2013年6月成功實(shí)現(xiàn)目標(biāo)飛行器“神舟十號”與軌道空間站“天宮一號”的對接．如圖所示，已知“神舟十號”與“天宮一號”從開始連接到成功實(shí)現(xiàn)對接用時(shí)t，這段時(shí)間內(nèi)二者構(gòu)成的組合體繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ（弧度），此過程中可認(rèn)為組合體的軌道半徑不變，保持繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力恒量G，不考慮地球自轉(zhuǎn)；求：
（1）地球質(zhì)量M；
（2）組合體所在圓軌道離地高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面物體的重力等于萬有引力求地球質(zhì)量；
（2）求出組合體繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，根據(jù)萬有引力提供向心力求出組合體所在圓軌道半徑r，即可求出組合體所在圓軌道高度h=r-R

解答 解：（1）地球表面物體的重力等于萬有引力，$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
可以得出：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）組合體繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度：θ=ωt     所以$ω=\frac{θ}{t}$
由萬有引力提供向心力可知：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=mr{ω}_{\;}^{2}$
可知組合體所在圓軌道半徑：$r=（\frac{GM}{{ω}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}=（\frac{GM{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}=（\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}$
組合體所在圓軌道高度：$h=（\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}-R$
答：（1）地球質(zhì)量M為$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）組合體所在圓軌道離地高度h為$（\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}$-R

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是要掌握萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$和在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$這兩個(gè)關(guān)系，并且要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．