Question

如圖所示，質量為M的長方形木板靜止在光滑水平面上，木板的左側固定一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧，木板的右側用一根伸直的并且不可伸長的輕繩水平地連接在豎直墻上．繩所能承受的最大拉力為T．一質量為m的小滑塊以一定的速度在木板上無摩擦地向左運動，而后壓縮彈簧．彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢能可用公式EP=

1

2

kx2計算，k為勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．
（1）若在小滑塊壓縮彈簧過程中輕繩始終未斷，并且彈簧的形變量最大時，彈簧對木板的彈力大小恰好為T，求此情況下小滑塊壓縮彈簧前的速度v₀；
（2）若小滑塊壓縮彈簧前的速度v₀'為已知量，并且大于（1）中所求的速度值v₀，求此情況下彈簧壓縮量最大時，小滑塊的速度；
（3）若小滑塊壓縮彈簧前的速度大于（1）中所求的速度值v₀，求小滑塊最后離開木板時，相對地面速度為零的條件．

Answer 1

分析：（1）假設繩子不斷，當滑塊速度減為零時，彈性勢能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據(jù)機械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）當滑塊與長木板速度相等時，彈力最大，加速度最大；先求解出斷開時滑塊速度，然后根據(jù)動量守恒和機械能守恒定律列式聯(lián)立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑塊與長木板分離后，速度恰好為零，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律列式后聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）設此問題中彈簧的最大壓縮量為x₀，則有：
 

1

2

m

v

2 0

=

1

2

k

x

2 0

…①
kx₀=T…②
解得：v0=T

1 km

．
（2）由于小滑塊壓縮彈簧前的速度v₀′大于（1）中所求的速度值v₀，所以當彈簧的壓縮量為x₀時，小滑塊的速度不為零．
設彈簧的壓縮量為x₀時，小滑塊的速度為v，
有  

1

2

m(v0′)2=

1

2

kx02+

1

2

mv2…③
由②③解得：v=

(v0′)2- T2 km

…④
此后細繩被拉斷，木板與滑塊（彈簧）組成的系統(tǒng)動量守恒，當彈簧的壓縮量最大時，木板和小滑塊具有共同速度，設共同速度為V
有 mv=（m+M）V…⑤
由④⑤解得：V=

m

M+m

(v0′)2- T2 km

…⑥
（3）木板與小滑塊通過彈簧作用完畢時，小滑塊相對地面的速度應為0，設此時木板的速度為V₁，并設小滑塊壓縮彈簧前的速度為v₀'，繩斷瞬間小滑塊的速度為 v，則有 mv=MV₁ …⑦
 

1

2

m(v0′)2=

1

2

MV12…⑧
由④⑦⑧解得小滑塊最后離開木板時，相對地面速度為零的條件得：v0′=

T

k(m-M)

，且m＞M．
答：（1）小滑塊壓縮彈簧前的速度v₀是T

1 km

．
（2）彈簧壓縮量最大時，小滑塊的速度是

m

M+m

(v0′)2- T2 km

；
（3）小滑塊最后離開木板時，相對地面速度為零的條件是：v0′=

T

k(m-M)

，且m＞M．

點評：本題關鍵要分析清楚滑塊和滑板的運動情況，能結合機械能守恒定律和動量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析，難度較大．