Question

19．如圖所示，PCD為豎直面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中PC段水平，CD段為半圓形軌道，整個(gè)軌道處于與豎直方向夾角為θ=60°斜向右下方的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\frac{2mg}{q}$，一與電場(chǎng)方向平行的光滑斜面固定在水平面上，其底端與軌道平面由微小圓弧連接．一帶電荷量為+q的金屬小球甲，從距離地面高為H的A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿斜面滑下，與靜止在C點(diǎn)的不帶電金屬小球乙發(fā)生碰撞并交換速度．已知甲、乙兩小球大小相同，質(zhì)量均為m，水平軌道PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$H，不考慮兩球之間的靜電力，小球與軌道間無(wú)電荷轉(zhuǎn)移，碰撞瞬間兩球電荷均勻分布，g取10m/s²
（1）求甲球與乙球碰撞時(shí)的速度大�。�
（2）甲、乙兩球碰撞后，若乙球第一次沿半圓形軌道上升過(guò)程中不脫離軌道，則軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）將小球的運(yùn)動(dòng)分為從A點(diǎn)到P點(diǎn)和從P點(diǎn)到C點(diǎn)兩個(gè)階段，分別分析，利用動(dòng)能定理列式，求出甲球在C點(diǎn)的速度就是甲球與乙球碰撞時(shí)的速度大小；
（2）找出乙球在最高點(diǎn)需要滿足的條件，由動(dòng)能定理求出最高點(diǎn)速度，最后解出軌道的半徑R應(yīng)該滿足的條件；

解答 解：（1）甲球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過(guò)程，電場(chǎng)力和重力做正功，由動(dòng)能定理得
$qE•\frac{H}{cosθ}+mgH=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
甲球在從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)力在水平方向的分力對(duì)小球做正功，由動(dòng)能定理得
$qEsinθ•\frac{2\sqrt{3}}{3}H=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得v_C=$\sqrt{14gH}$；
（2）乙球第一次沿半圓形軌道上升過(guò)程中不脫離軌道，則在最高點(diǎn)速度需滿足$mg+\frac{q}{2}Ecos60°≤m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
而從C運(yùn)動(dòng)到D階段，由動(dòng)能定理得$-\frac{q}{2}Ecosθ•2R-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得R≤$\frac{28}{15}H$；
答：（1）甲球與乙球碰撞時(shí)的速度大小為$\sqrt{14gH}$；
（2）甲、乙兩球碰撞后，若乙球第一次沿半圓形軌道上升過(guò)程中不脫離軌道，則軌道的半徑R應(yīng)該滿足R≤$\frac{28}{15}H$．

點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合電場(chǎng)考查了動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是尋找臨界條件，平時(shí)做題需要多總結(jié)常見(jiàn)的臨界條件．根據(jù)臨界條件列式求解即可．