Question

12．組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的自轉(zhuǎn)速率，如果超過了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體做圓周運動，由此能得到半徑為R、密度為ρ、質(zhì)量為M且均勻分布的星球的最小自轉(zhuǎn)周期T．下列表達(dá)式中正確的是（　�。�

• A． T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
• B． T=2π$\sqrt{\frac{3{R}^{3}}{GM}}$
• C． T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$
• D． T=$\sqrt{\frac{π}{Gρ}}$

Answer 1

分析 由題意可知當(dāng)周期達(dá)到某一最小值時，物體對星球表面應(yīng)剛好沒有壓力，即萬有引力恰好充當(dāng)星球表面的物體在星球表面做圓周運動的向心力；故由萬有引力公式可求得最小周期．

解答 解：由F=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對星球表面的壓力最小，
當(dāng)周期小到一定值時，壓力為零，此時萬有引力充當(dāng)向心力，即$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；故A正確；
因M=ρ$\frac{4}{3}$πR³，代入上式可得：T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$，故C也正確；
故選：AC．

點評 星球表面的物體受到星球萬有引力的作用充當(dāng)物體的向心力及支持力，星球的轉(zhuǎn)動角速度越大、周期越小時，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越小；而當(dāng)向心力大到一定值時，物體會離開星球表面．