Question

如圖所示，在水平長(zhǎng)直的軌道上，有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的平板車在外力控制下始終保持速度v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)．某時(shí)刻將一質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊輕放到車面距右端

L

3

的c處，滑塊剛好停在小車左端A處，設(shè)定平板車上表面各處粗糙程度相同．
（1）求滑塊和平板車間的摩擦因數(shù)；
（2）若平板車車速為2v₀且保持不變，當(dāng)滑塊輕放到車面C處的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車的左端A處掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足什么條件？
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）小滑塊在滑動(dòng)摩擦力的作用下向右加速，根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合幾何關(guān)系列式求解；
（2）假設(shè)取最小值，則滑塊恰好滑到最左端，再次根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和功能關(guān)系，結(jié)合幾何關(guān)系列式求解；
（3）小滑塊在平板車上先加速后減速，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和幾何關(guān)系列式聯(lián)立求解恰好不掉下的臨界時(shí)間

解答：解：（1）設(shè)小滑塊受到的滑動(dòng)摩擦力大小為f，則小物塊產(chǎn)生的加速度a=

f

m

，小物塊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

v0

a

，當(dāng)小物塊的速度和車的速度相同時(shí)有根據(jù)幾何關(guān)系有：
v0t-

1

2

at2=

2L

3

代入：a=

f

m

和t=

v0

a

可得：
f=

3m v 2 0

4L

又因?yàn)閒=μF_N=μmg得動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

f

mg

=

3 v 2 0

4gL

（2）設(shè)恒力F取最小值F′，滑塊加速度為a₁，此時(shí)滑塊恰好達(dá)到車的左端，則滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端的時(shí)間t1=

2v0

a1

      ①
由幾何關(guān)系，有 2v₀t₁-

1

2

v0t1=

2L

3

       ②
由牛頓第二定律有：F′+f=ma₁      ③
由①②③解得：F′=3f=

9m v 2 0

4L

，t1=

2L

3v0

則恒力F大小應(yīng)滿足的條件是：F≥

9m v 2 0

4L

（3）力F取最小值，當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到車左端后，為使滑塊恰不從右端畫(huà)出，相對(duì)車先做勻加速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度為a₂，時(shí)間為t₂），再做勻減速運(yùn)動(dòng)（設(shè)加速度大小為a₃）．到達(dá)車右端時(shí)，與車有共同速度，則有
F′-f=ma₂ ④
f=ma₃ ⑤
由幾何關(guān)系有：

1

2

a2

t

2 2

+

a 2 2 t 2 2

2a3

=L⑥
由④⑤⑥解得：t2=

2L

3v0

則力F的作用時(shí)間t應(yīng)滿足t₁≤t≤t₁+t₂
即

2L

3v0

≤t≤

4L

3v0

答：（1）滑塊和平板車間的摩擦因數(shù)μ=

3 v 2 0

4gL

；
（2）若平板車車速為2v₀且保持不變，當(dāng)滑塊輕放到車面C處的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車的左端A處掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足≥

9m v 2 0

4L

（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在

2L

3v0

≤t≤

4L

3v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析清楚物體受力后，根據(jù)牛頓第二定律求得各段的加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合幾何關(guān)系列式求解．